Avalie as seguintes integrais definidas. integral0^2(2 t-1)(t+3) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de . Isso envolve multiplicar os polinômios e aplicar as regras de integração. Para resolver, vamos precisar saber como expandir produtos de polinômios e depois integrar cada termo resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando (2t - 1)(t + 3) = 2t cdot t + 2t cdot 3 - 1 cdot t - 1 cdot 3 = 2t^2 + 6t - t - 3 = 2t^2 + 5t - 3 por . Isso facilita a integração depois. Vamos fazer essa multiplicação:

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C , vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para um termo do tipo integral 2t^2 , dt = 2 cdot t^33 = 23t^3 é:
integral 5t , dt = 5 cdot t^22 = 52t^2
Onde integral -3 , dt = -3t é a constante de integração, que vamos ignorar pois estamos lidando com uma integral definida. Aplicando isso a cada termo:
integral0^2(2t^2 + 5t - 3) , dt = [ 23t^3 + 52t^2 - 3t ]0^2
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração, ou seja, substituir 23(2)^3 + 52(2)^2 - 3(2) = 23(8) + 52(4) - 6 = 163 + 10 - 6 = 163 + 4 = 283 e 23(0)^3 + 52(0)^2 - 3(0) = 0 + 0 - 0 = 0 na expressão que encontramos e subtrair os resultados.
Para 283 - 0 = 283 :
Para :
Agora, subtraindo:

Resposta

A integral avaliada é .

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