Avalie os seguintes integrais de linha:
onde
é o círculo plano de raio
centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha:
Aqui,
é um círculo plano de raio
centrado na origem. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o círculo
. Como
é um círculo de raio
centrado na origem, podemos usar coordenadas polares para descrevê-lo. A parametrização ficará assim:
Onde
varia de
a
para completar o círculo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, que são
e
:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na integral original.
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral:
Simplificando o denominador:
Passo 5
Continuando a simplificação da integral:
Simplificando
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular as integrais de
e
de
a
. Sabemos que, ao integrar potências ímpares de seno e cosseno em um período completo
, o resultado é zero porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Ou seja:
Passo 7
Substituindo esses resultados na nossa expressão:
Resposta
A integral de linha vale 0.
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onde
é a curva plana dada por
.