Avalie os seguintes integrais de linha: onde é o círculo plano de raio centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha:
Aqui, é um círculo plano de raio centrado na origem. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o círculo . Como é um círculo de raio centrado na origem, podemos usar coordenadas polares para descrevê-lo. A parametrização ficará assim:
Onde varia de a para completar o círculo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a , que são e :
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na integral original.

Passo 4

Substituímos , , e na integral:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Continuando a simplificação da integral:
Simplificando :

Passo 6

Agora, precisamos calcular as integrais de e de a . Sabemos que, ao integrar potências ímpares de seno e cosseno em um período completo , o resultado é zero porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Ou seja:

Passo 7

Substituindo esses resultados na nossa expressão:

Resposta

A integral de linha vale 0.

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