Avalie os seguintes integrais de linha: integralC y^2 d x-x^2 d yx^2+y^2 onde C é o círculo plano de raio R centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha:
integralC y^2 , dx - x^2 , dyx^2 + y^2
Aqui, é um círculo plano de raio centrado na origem. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o círculo x = R cos theta . Como y = R sin theta é um círculo de raio centrado na origem, podemos usar coordenadas polares para descrevê-lo. A parametrização ficará assim:
Onde varia de a para completar o círculo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dx = -R sin theta , dtheta e dy = R cos theta , dtheta em relação a , que são e :
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na integral original.

Passo 4

Substituímos integralC y^2 , dx - x^2 , dyx^2 + y^2 = integral0^2pi (R sin theta)^2 (-R sin theta , dtheta) - (R cos theta)^2 (R cos theta , dtheta)R^2 cos^2 theta + R^2 sin^2 theta , x^2 + y^2 = R^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = R^2 , e na integral:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Continuando a simplificação da integral:
= integral0^2pi R^2 sin^2 theta (-R sin theta) - R^2 cos^2 theta (R cos theta)R^2 , dtheta
= integral0^2pi -R^3 sin^3 theta - R^3 cos^3 thetaR^2 , dtheta
Simplificando = -R integral0^2pi (sin^3 theta + cos^3 theta) , dtheta :

Passo 6

Agora, precisamos calcular as integrais de integral0^2pi sin^3 theta , dtheta = 0 e integral0^2pi cos^3 theta , dtheta = 0 de a . Sabemos que, ao integrar potências ímpares de seno e cosseno em um período completo , o resultado é zero porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Ou seja:

Passo 7

Substituindo esses resultados na nossa expressão:
- R (0 + 0) = 0

Resposta

A integral de linha vale 0.

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