Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos para resolver. A questão apresenta uma série infinita e pede para testarmos se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Vamos olhar para o termo geral da série:
. Nosso objetivo é determinar se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou não (diverge) quando
vai ao infinito. Para isso, podemos usar o Teste do Termo Geral ou o Teste da Comparação.
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar o termo geral para facilitar a análise. Observando o denominador
, percebemos que para valores grandes de
, o termo
domina. Então, podemos aproximar:
Passo 4
Substituindo essa aproximação no termo geral, temos:
Passo 5
Agora, a série original se comporta de forma semelhante à série
. Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1.
Passo 6
Como a série comparada
diverge, pelo Teste da Comparação, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Avalie os seguintes integrais de linha:
onde
é o círculo plano de raio
centrado na origem.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
onde
é a curva plana dada por
.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.