Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty n^2raizn^5+n^2+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos para resolver. A questão apresenta uma série infinita e pede para testarmos se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Vamos olhar para o termo geral da série: . Nosso objetivo é determinar se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou não (diverge) quando vai ao infinito. Para isso, podemos usar o Teste do Termo Geral ou o Teste da Comparação.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar o termo geral para facilitar a análise. Observando o denominador raizn^5 + n^2 + 2 approx raizn^5 = n^5/2 , percebemos que para valores grandes de , o termo domina. Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo essa aproximação no termo geral, temos:
n^2raizn^5 + n^2 + 2 approx n^2n^5/2 = n^2 - 5/2 = n^-1/2

Passo 5

Agora, a série original se comporta de forma semelhante à série . Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1.

Passo 6

Como a série comparada diverge, pelo Teste da Comparação, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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