Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: integralC y e^x y d x+x e^x y d y onde C é a curva plana dada por sigma(t)=(2 t, 3 t^2), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha do tipo integralC y e^x y dx + x e^x y dy. Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que ajuda a simplificar integrais quando conseguimos identificar uma função potencial. Além disso, vamos usar a parametrização da curva C que é dada por sigma(t) = (2t, 3t^2) para t entre 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a expressão dentro da integral pode ser escrita como a derivada total de alguma função. Isso facilita muito a resolução porque, segundo o teorema, a integral ao longo da curva será apenas a diferença dos valores dessa função nos pontos finais.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma função F(x, y) tal que:
dF = partial Fpartial x dx + partial Fpartial y dy = y e^x y dx + x e^x y dy
Comparando, vemos que:
partial Fpartial x = y e^x y e partial Fpartial y = x e^x y

Passo 4

Integrando partial Fpartial x em relação a x:
F(x, y) = integral y e^x y dx = e^x y + g(y)
Onde g(y) é uma funç��o que depende apenas de y. Agora, derivamos F(x, y) em relação a y para encontrar g(y):
partial Fpartial y = x e^x y + g'(y)
Comparando com partial Fpartial y = x e^x y, temos que g'(y) = 0, ou seja, g(y) é constante. Podemos considerar g(y) = 0.
Então, a função potencial é:
F(x, y) = e^x y

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha:
integralC y e^x y dx + x e^x y dy = F(sigma(1)) - F(sigma(0))
Vamos calcular F nos pontos finais da curva:
Para t = 1:
sigma(1) = (2 times 1, 3 times 1^2) = (2, 3)
Então:
F(2, 3) = e^2 times 3 = e^6
Para t = 0:
sigma(0) = (2 times 0, 3 times 0^2) = (0, 0)
Então:
F(0, 0) = e^0 times 0 = e^0 = 1

Resposta

A integral vale e^6 - 1.

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