Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
onde
é a curva plana dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha do tipo
. Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que ajuda a simplificar integrais quando conseguimos identificar uma função potencial. Além disso, vamos usar a parametrização da curva
que é dada por
para
entre 0 e 1.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a expressão dentro da integral pode ser escrita como a derivada total de alguma função. Isso facilita muito a resolução porque, segundo o teorema, a integral ao longo da curva será apenas a diferença dos valores dessa função nos pontos finais.
Passo 3
Vamos tentar encontrar uma função
tal que:
Comparando, vemos que:
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma funç��o que depende apenas de
. Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Comparando com
, temos que
, ou seja,
é constante. Podemos considerar
.
Então, a função potencial é:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha:
Vamos calcular
nos pontos finais da curva:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
A integral vale
.
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onde
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