Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: onde é a curva plana dada por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha do tipo . Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que ajuda a simplificar integrais quando conseguimos identificar uma função potencial. Além disso, vamos usar a parametrização da curva que é dada por para entre 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a expressão dentro da integral pode ser escrita como a derivada total de alguma função. Isso facilita muito a resolução porque, segundo o teorema, a integral ao longo da curva será apenas a diferença dos valores dessa função nos pontos finais.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma função tal que:
Comparando, vemos que:

Passo 4

Integrando em relação a :
Onde é uma funç��o que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Comparando com , temos que , ou seja, é constante. Podemos considerar .
Então, a função potencial é:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha:
Vamos calcular nos pontos finais da curva:
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

A integral vale .

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