Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com uma série infinita e vamos usar o Teste da Integral para descobrir se ela soma a um número finito ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e como elas se relacionam com séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Basicamente, se a integral correspondente for finita (convergir), então a série também converge; se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série. A função que corresponde aos termos da série é . Para usar o teste, substituímos por e analisamos a integral de de 2 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então a derivada de em relação a é . Isso simplifica a nossa integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar . A antiderivada de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original, temos . Então, a antiderivada fica:
Agora, vamos avaliar a integral definida de 2 até o infinito:

Passo 7

Vamos analisar o limite:
  • À medida que vai para o infinito, também vai para o infinito.
  • Portanto, vai para 0.
Então, o limite fica:

Passo 8

Como a integral resultou em um número finito ( ), isso significa que a integral converge.

Resposta

Pelo Teste da Integral, como a integral correspondente converge, a série converge.

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