Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=2^infty 2n(ln n)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=2^infty 2n(ln n)^3 converge ou diverge. Estamos lidando com uma série infinita e vamos usar o Teste da Integral para descobrir se ela soma a um número finito ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e como elas se relacionam com séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Basicamente, se a integral correspondente for finita (convergir), então a série também converge; se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série. A função que corresponde aos termos da série é f(n) = 2n(ln n)^3. Para usar o teste, substituímos n por x e analisamos a integral de f(x) de 2 até o infinito:
integral2^infty 2x(ln x)^3 , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar u = ln x, então a derivada de u em relação a x é du = 1x dx. Isso simplifica a nossa integral:
integral 2x(ln x)^3 , dx = 2 integral 1u^3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 2 integral 1u^3 , du. A antiderivada de 1u^3 é -12u^2. Então:
2 ( -12u^2 ) + C = -1u^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original, temos u = ln x. Então, a antiderivada fica:
-1(ln x)^2 + C
Agora, vamos avaliar a integral definida de 2 até o infinito:
limb to infty ( -1(ln b)^2 + 1(ln 2)^2 )

Passo 7

Vamos analisar o limite:
  • À medida que b vai para o infinito, ln b também vai para o infinito.
  • Portanto, 1(ln b)^2 vai para 0.
Então, o limite fica:
0 + 1(ln 2)^2 = 1(ln 2)^2

Passo 8

Como a integral resultou em um número finito ( 1(ln 2)^2), isso significa que a integral converge.

Resposta

Pelo Teste da Integral, como a integral correspondente converge, a série sumn=2^infty 2n(ln n)^3 converge.

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