Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Estamos lidando com uma série infinita e vamos usar o Teste da Integral para descobrir se ela soma a um número finito ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e como elas se relacionam com séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Basicamente, se a integral correspondente for finita (convergir), então a série também converge; se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral na nossa série. A função que corresponde aos termos da série é
. Para usar o teste, substituímos
por
e analisamos a integral de
de 2 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar
, então a derivada de
em relação a
é
. Isso simplifica a nossa integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A antiderivada de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para a variável original, temos
. Então, a antiderivada fica:
Agora, vamos avaliar a integral definida de 2 até o infinito:
Passo 7
Vamos analisar o limite:
- À medida que
vai para o infinito, também vai para o infinito. - Portanto,
vai para 0.
Então, o limite fica:
Passo 8
Como a integral resultou em um número finito (
), isso significa que a integral converge.
Resposta
Pelo Teste da Integral, como a integral correspondente converge, a série
converge.
Exercícios relacionados
Encontre os campos gradientes
das seguintes funções:
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Avalie os seguintes integrais de linha:
onde
é o círculo plano de raio
centrado na origem.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.