Encontre os campos gradientes
das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo gradiente
da função dada, que é
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com o conceito de gradiente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Nessa expressão,
é tratado como uma constante em relação a
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante e usamos a regra da cadeia para derivar
:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente,
é constante, e aplicamos a regra da cadeia:
Resposta
Então, o campo gradiente da função
é:
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onde
é o círculo plano de raio
centrado na origem.