Encontre os campos gradientes das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo gradiente da função dada, que é . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com o conceito de gradiente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Nessa expressão, é tratado como uma constante em relação a , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante e usamos a regra da cadeia para derivar :

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Novamente, é constante, e aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

Então, o campo gradiente da função é:

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