Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule um potencial de F.
F(x, y) = (3y^2, 6xy) sobre o plano R^2;

Passo 1

Beleza, então a gente tem um campo vetorial definido no plano . A pergunta é: esse campo é conservativo? E se for, qual é a função potencial dele? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial quando ele é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função tal que , ou seja, é o gradiente dessa função. Uma condição prática para verificar se é conservativo é checar se .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando isso em relação a :
Onde é uma função que depende somente de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda componente do campo para determinar . Sabemos que:
Calculando a derivada de que encontramos:
Igualando isso a :
Assim, , o que significa que é uma constante. Podemos ignorar essa constante na função potencial.

Resposta

A função potencial do campo vetorial é:
onde é uma constante real.

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