Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
sobre o plano
;
Passo 1
Beleza, então a gente tem um campo vetorial
definido no plano
. A pergunta é: esse campo é conservativo? E se for, qual é a função potencial dele? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial quando ele é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função
tal que
, ou seja,
é o gradiente dessa função. Uma condição prática para verificar se
é conservativo é checar se
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é uma função que depende somente de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda componente do campo para determinar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
que encontramos:
Igualando isso a
:
Assim,
, o que significa que
é uma constante. Podemos ignorar essa constante na função potencial.
Resposta
A função potencial do campo vetorial
é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva em
dada por
, onde
e a são constantes.
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva
, com a e
constantes positivas.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
sobre o
(dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.