Avalie os seguintes integrais de linha: , onde , e onde é a curva parametrizada por , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e a curva é dada pela parametrização para . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Ela mede o acúmulo de um campo vetorial ao longo de uma curva. Para calcular , precisamos parametrizar a curva e expressar ao longo dessa parametrização.
Passo 3
A curva está parametrizada por . Isso significa que para cada valor de entre 0 e , temos um ponto na curva. Vamos substituir esses valores na função para encontrar .
Passo 4
Agora, vamos calcular . Substituindo , e na função , temos:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Calculando: