Avalie os seguintes integrais de linha: integralC F cdot d s, onde F(x, y, z)=z i+y j-x k, e onde C é a curva parametrizada por sigma(t)=t i+sin t j+cos t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e a curva é dada pela parametrização para . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Ela mede o acúmulo de um campo vetorial ao longo de uma curva. Para calcular , precisamos parametrizar a curva e expressar ao longo dessa parametrização.

Passo 3

A curva está parametrizada por . Isso significa que para cada valor de entre 0 e , temos um ponto na curva. Vamos substituir esses valores na função para encontrar .

Passo 4

Agora, vamos calcular F(sigma(t)) = cos t i + sin t j - t k . Substituindo , e na função , temos:

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de sigma'(t) = ddt [t i + sin t j + cos t k] = i + cos t j - sin t k em relação a , que é . Calculando:

Passo 6

Com F(sigma(t)) cdot sigma'(t) = (cos t)(1) + (sin t)(cos t) + (-t)(- sin t) = cos t + sin t cos t + t sin t e em mãos, vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, nossa integral de linha fica:
integral0^pi [cos t + sin t cos t + t sin t] , dt
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. 12 integral0^pi sin 2t , dt = 12 ( -12 cos 2t ) gr|0^pi = -14 [cos 2pi - cos 0] = -14 (1 - 1) = 0
  2. . Podemos usar a identidade :
  1. . Aqui, usamos integração por partes:
    • Seja e
    • Então, e
    • A integral fica:
    • Avaliando:

Resposta

Somando todos os termos, a integral de linha é:
0 + 0 + pi = pi
Então, a resposta final é .

Exercícios relacionados