Avalie os seguintes integrais de linha: , onde , e onde é a curva parametrizada por , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e a curva é dada pela parametrização para . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Ela mede o acúmulo de um campo vetorial ao longo de uma curva. Para calcular , precisamos parametrizar a curva e expressar ao longo dessa parametrização.

Passo 3

A curva está parametrizada por . Isso significa que para cada valor de entre 0 e , temos um ponto na curva. Vamos substituir esses valores na função para encontrar .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Substituindo , e na função , temos:

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Calculando:

Passo 6

Com e em mãos, vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, nossa integral de linha fica:
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. . Podemos usar a identidade :
  1. . Aqui, usamos integração por partes:
    • Seja e
    • Então, e
    • A integral fica:
    • Avaliando:

Resposta

Somando todos os termos, a integral de linha é:
Então, a resposta final é .

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© . (Diferença para trás)
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