Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série aqui: . Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre testes de convergência de séries e entender conceitos como convergência absoluta e convergência condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, então é absolutamente convergente.
No nosso caso, vamos considerar os valores absolutos dos termos da série:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever como:
Então, a série dos valores absolutos fica:

Passo 4

Perceba que temos uma constante fora da potência. Podemos simplificar ainda mais:
Essa série se assemelha à série p de termos , mas com um fator adicional .

Passo 5

Para determinar a convergência dessa série, podemos utilizar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vamos usar o Teste da Razão aqui.
O Teste da Razão diz que se :
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aplicando ao nosso caso:
Então,

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.

Passo 7

Já que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Avalie os seguintes integrais de linha: , onde , e onde é a curva parametrizada por , .
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de : em .
Teste a série quanto a convergência ou divergência.