Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série aqui: . Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre testes de convergência de séries e entender conceitos como convergência absoluta e convergência condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, então é absolutamente convergente.
No nosso caso, vamos considerar os valores absolutos dos termos da série:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever como:
Então, a série dos valores absolutos fica:
Passo 4
Perceba que temos uma constante fora da potência. Podemos simplificar ainda mais:
Essa série se assemelha à série p de termos , mas com um fator adicional .
Passo 5
Para determinar a convergência dessa série, podemos utilizar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vamos usar o Teste da Razão aqui.
O Teste da Razão diz que se :
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Aplicando ao nosso caso:
Então,
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.
Passo 7
Já que a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é condicionalmente convergente.