Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es
abaixo é linear:
©
. (Diferença para trás)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que uma certa função
, que recebe outras funções como entrada, é linear. Aqui, estamos trabalhando com espaço de funções
, ou seja, funções que vão de números reais para números reais. A função
que vamos analisar é definida por
, onde
é um número real fixo. Para mostrar que
é linear, precisaríamos verificar duas propriedades fundamentais de funções lineares: a aditividade e a homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função
é linear se, para quaisquer funções
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes duas condições são satisfeitas:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Queremos mostrar que
.
Começamos aplicando
na soma das funções
:
Isso se expande para:
Podemos rearranjar os termos:
Agora, percebemos que isso é igual a:
Portanto,
, o que confirma a aditividade.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Agora, queremos mostrar que
.
Aplicamos
na função
:
Isso se simplifica para:
Podemos fatorar
:
Que é igual a:
Assim, temos
, confirmando a homogeneidade.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.
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, onde
, e onde
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,
.