Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funçð̃es abaixo é linear:
© . (Diferença para trás)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que uma certa função , que recebe outras funções como entrada, é linear. Aqui, estamos trabalhando com espaço de funções , ou seja, funções que vão de números reais para números reais. A função que vamos analisar é definida por , onde é um número real fixo. Para mostrar que é linear, precisaríamos verificar duas propriedades fundamentais de funções lineares: a aditividade e a homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer funções e em e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são satisfeitas:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Queremos mostrar que .
Começamos aplicando na soma das funções :
Isso se expande para:
Podemos rearranjar os termos:
Agora, percebemos que isso é igual a:
Portanto, , o que confirma a aditividade.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Agora, queremos mostrar que .
Aplicamos na função :
Isso se simplifica para:
Podemos fatorar :
Que é igual a:
Assim, temos , confirmando a homogeneidade.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

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