Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de séries e aplicar o Teste da Razão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se a gente pegar:
Se essa nova série convergir, então a série original é absolutamente convergente. Se não, a gente verifica outras possibilidades.
Passo 3
Agora, para saber se a série dos valores absolutos converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência observando o comportamento dos termos conforme L = limn to infty | an+1an | cresce.
O Teste da Razão diz que, para uma série an = 1(2n-1)! , se:
an+1 = 1(2(n+1)-1)! = 1(2n+1)!
Se | an+1an | = (2n-1)!(2n+1)! = 1(2n+1)(2n) , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série dos valores absolutos:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 1(2n+1)(2n) = limn to infty 14n^2 + 2n = 0 tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.