Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (-1)^n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty (-1)^n-1(2n-1)!
O objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de séries e aplicar o Teste da Razão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se a gente pegar:
sumn=1^infty | (-1)^n-1(2n-1)! | = sumn=1^infty 1(2n-1)!
Se essa nova série convergir, então a série original é absolutamente convergente. Se não, a gente verifica outras possibilidades.

Passo 3

Agora, para saber se a série dos valores absolutos converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência observando o comportamento dos termos conforme L = limn to infty | an+1an | cresce.
O Teste da Razão diz que, para uma série an = 1(2n-1)! , se:
an+1 = 1(2(n+1)-1)! = 1(2n+1)!
  • Se | an+1an | = (2n-1)!(2n+1)! = 1(2n+1)(2n) , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série dos valores absolutos:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 1(2n+1)(2n) = limn to infty 14n^2 + 2n = 0 tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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