Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
:
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o campo vetorial
e precisamos descobrir se ele é conservativo. Se for, também vamos achar uma função potencial
tal que
.
Para isso, vamos usar o conceito de rotacional de um campo vetorial. Um campo é conservativo se seu rotacional for zero em toda a região considerada. Então, vamos calcular o rotacional de
e verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial
em
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotacional para o nosso
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Então, temos:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Comparando os lados, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Agora, usamos a terceira equação para determinar
:
Comparando os lados:
Portanto:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar na função potencial.
Resposta
A função potencial é:
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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Avalie os seguintes integrais de linha:
, onde
, e onde
é a curva parametrizada por
,
.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.