Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de : em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o campo vetorial e precisamos descobrir se ele é conservativo. Se for, também vamos achar uma função potencial tal que .
Para isso, vamos usar o conceito de rotacional de um campo vetorial. Um campo é conservativo se seu rotacional for zero em toda a região considerada. Então, vamos calcular o rotacional de e verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial em . O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotacional para o nosso .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Então, temos:
Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Comparando os lados, temos:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Agora, usamos a terceira equação para determinar :
Comparando os lados:
Portanto:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar na função potencial.

Resposta

A função potencial é:

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Avalie os seguintes integrais de linha: , onde , e onde é a curva parametrizada por , .
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.