Avalie os seguintes integrais de linha: integralC F cdot d s, onde F(x, y, z)=z i+y j-x k, e onde C é a curva parametrizada por sigma(t)=t i+sin t j+cos t k,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que é definida por . Vou te mostrar como resolver isso passo a passo usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “trabalho” que um campo vetorial realiza ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
integralC F cdot ds = integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma'(t) , dt
Onde:
  • é o campo vetorial avaliado na curva.
  • é a derivada da parametrização da curva.
  • e são os limites do parâmetro .

Passo 3

Vamos identificar os limites de . Como não foi especificado no enunciado, vou considerar que varia de 0 a para cobrir um ciclo completo da função trigonométrica na parametrização. Se houver outro intervalo, você pode ajustar conforme necessário.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização sigma(t) = t i + sin t j + cos t k :
sigma'(t) = ddt(t) i + ddt(sin t) j + ddt(cos t) k = i + cos t j - sin t k
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos agora substituir F(sigma(t)) = z i + y j - x k = cos t i + sin t j - t k na função :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F(sigma(t)) cdot sigma'(t) = (cos t)(1) + (sin t)(cos t) + (-t)(-sin t) = cos t + sin t cos t + t sin t :

Passo 7

Finalmente, montamos a integral:
integral0^2pi ( cos t + sin t cos t + t sin t ) dt
Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando a identidade )
  2. – aqui usamos integração por partes:
    • Seja ,
    • Então, e
    • Aplicando:

Passo 8

Vamos juntar tudo:
sin t + 12 sin^2 t - t cos t + sin t |0^2pi
Calculando nos limites:
Para sin(2pi) + 12 sin^2(2pi) - 2pi cos(2pi) + sin(2pi) = 0 + 0 - 2pi (1) + 0 = -2pi :
sin(0) + 12 sin^2(0) - 0 cos(0) + sin(0) = 0 + 0 - 0 + 0 = 0
Para :

Resposta

A integral de linha vale .

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