Avalie os seguintes integrais de linha: , onde , e onde é a curva parametrizada por ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que é definida por . Vou te mostrar como resolver isso passo a passo usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o “trabalho” que um campo vetorial realiza ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
Onde:
  • é o campo vetorial avaliado na curva.
  • é a derivada da parametrização da curva.
  • e são os limites do parâmetro .

Passo 3

Vamos identificar os limites de . Como não foi especificado no enunciado, vou considerar que varia de 0 a para cobrir um ciclo completo da função trigonométrica na parametrização. Se houver outro intervalo, você pode ajustar conforme necessário.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização :
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos agora substituir na função :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Finalmente, montamos a integral:
Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando a identidade )
  2. – aqui usamos integração por partes:
    • Seja ,
    • Então, e
    • Aplicando:

Passo 8

Vamos juntar tudo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Resposta

A integral de linha vale .

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Seja a sequência de Fibonacci, observe que
onde é a raíz positiva da equação quadrática . Este fenômeno foi observado pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630). O número é chamado a razão de ouro, que já era conhecida pelos gregos, ao menos dezesseis séculos antes de Fibonacci. Resolva os seguintes itens:
(a) Prove que .
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática . Com efeito, defina a fórmula recursiva
com o passo inicial.
i. Calcule as três póximas aproximações e , para a razão de ouro .
ii. Apresente uma conjectura para qualquer, em função dos números de Fibonacci. Prove tal conjectura, para todo .
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: , onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .
Se e são duas funções periódicas com período , então também é uma função periódica com período .