Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 dado por F(x, y)=(1+cosh y, x sinh y) e a curva C é dada por sigma(t)=(sin t, 2 t / pi), 0 <= t <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. A integral é , onde o campo vetorial e a curva é dada por para . Vamos precisar verificar se é um campo conservativo e encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se P = 1 + cosh y Rightarrow partial Ppartial y = sinh y é conservativo. Um campo vetorial Q = x sinh y Rightarrow partial Qpartial x = sinh y é conservativo se . Vamos calcular essas derivadas:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Como partial phipartial x = P = 1 + cosh y Rightarrow phi(x, y) = (1 + cosh y) x + g(y) é conservativo, existe uma função potencial partial phipartial y = x sinh y + g'(y) = Q = x sinh y tal que phi(x, y) = x (1 + cosh y) . Vamos encontrar :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos tomar . Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Agora que temos a função potencial integralC F cdot ds = phi(Ponto final) - phi(Ponto inicial) , podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
sigma(0) = (sin 0, 2 cdot 0pi) = (0, 0)
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva sigma(pi2) = (sin pi2, 2 cdot pi2pi) = (1, 1) . A curva é parametrizada por de a :

Passo 5

Vamos calcular phi(1, 1) = 1 cdot (1 + cosh 1) = 1 + cosh 1 nos pontos final e inicial:
phi(0, 0) = 0 cdot (1 + cosh 0) = 0

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema Fundamental:
integralC F cdot ds = phi(1, 1) - phi(0, 0) = (1 + cosh 1) - 0 = 1 + cosh 1

Resposta

O valor da integral é .

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