Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. A integral é
, onde o campo vetorial
e a curva
é dada por
para
. Vamos precisar verificar se
é um campo conservativo e encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se
. Vamos calcular essas derivadas:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos tomar
. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Agora que temos a função potencial
, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva
. A curva é parametrizada por
de
a
:
Passo 5
Vamos calcular
nos pontos final e inicial:
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema Fundamental:
Resposta
O valor da integral é
.