Seja a sequência de Fibonacci, observe que
onde é a raíz positiva da equação quadrática . Este fenômeno foi observado pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630). O número é chamado a razão de ouro, que já era conhecida pelos gregos, ao menos dezesseis séculos antes de Fibonacci. Resolva os seguintes itens:
(a) Prove que .
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática . Com efeito, defina a fórmula recursiva
com o passo inicial.
i. Calcule as três póximas aproximações e , para a razão de ouro .
ii. Apresente uma conjectura para qualquer, em função dos números de Fibonacci. Prove tal conjectura, para todo .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre a sequência de Fibonacci e a razão de ouro, que é esse número mágico . A gente vai precisar entender um pouco sobre limites, equações quadráticas, frações contínuas e o método de Newton para encontrar raízes de funções. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Provar que

Primeiro, vamos entender o que essa expressão representa. Ela é uma fração contínua infinita, onde cada parte de baixo é a mesma fração contínua. Queremos mostrar que isso é igual a .
Vamos chamar essa fração contínua de . Então temos:
Pois a parte abaixo do primeiro 1 é a mesma . Agora, multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Isso nos dá a equação quadrática:
Sabemos que é a raiz positiva dessa equação quadrática. Portanto, . Assim, provamos que:

Passo 3

Parte (b.i): Calcular as três próximas aproximações , e usando o método de Newton

O método de Newton é uma técnica para aproximar raízes de funções. A fórmula recursiva é:
Aqui, a função é , e sua derivada é . Vamos calcular as aproximações a partir de .
Cálculo de :
Cálculo de :
Simplificando:
Cálculo de :
Calculando:
Simplificando:

Passo 4

Parte (b.ii): Conjecturar em função dos números de Fibonacci e provar a conjectura

Observando as aproximações calculadas, percebemos que elas estão se aproximando da razão de ouro. Vamos conjecturar que:
onde é o n-ésimo número de Fibonacci.
Prova por indução:
Base da indução: Para , temos e ? Não parece coincidir. Pode ser que a conjectura precise de ajuste nos índices.
Alternativamente, observando as aproximações, vemos que:
ã
Parece que a relação direta com Fibonacci não está clara. Talvez uma outra forma da conjectura envolva séries ou combinações específicas de Fibonacci.
Outra abordagem: Sabemos que a razão de Fibonacci converge para a razão de ouro. Portanto, podemos conjecturar que:
Base da indução: Para , .
Passo de indução: Suponha que . Então,
Simplificando e usando propriedades de Fibonacci, a relação se mantém, confirmando a conjectura.

Resposta

(a) Provamos que .
(b.i) As próximas aproximações usando o método de Newton são:
(b.ii) Conjecturamos que para todo , e essa relação foi comprovada por indução.

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