Seja
a sequência de Fibonacci, observe que
onde
é a raíz positiva da equação quadrática
. Este fenômeno foi observado pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630). O número
é chamado a razão de ouro, que já era conhecida pelos gregos, ao menos dezesseis séculos antes de Fibonacci. Resolva os seguintes itens:
(a) Prove que
.
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática
. Com efeito, defina a fórmula recursiva
com
o passo inicial.
i. Calcule as três póximas aproximações
e
, para a razão de ouro
.
ii. Apresente uma conjectura para
qualquer, em função dos números de Fibonacci. Prove tal conjectura, para todo
.
(a) Prove que
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática
i. Calcule as três póximas aproximações
ii. Apresente uma conjectura para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre a sequência de Fibonacci e a razão de ouro, que é esse número mágico
. A gente vai precisar entender um pouco sobre limites, equações quadráticas, frações contínuas e o método de Newton para encontrar raízes de funções. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Provar que
Primeiro, vamos entender o que essa expressão representa. Ela é uma fração contínua infinita, onde cada parte de baixo é
a mesma fração contínua. Queremos mostrar que isso é igual a
.
Vamos chamar essa fração contínua de
. Então temos:
Pois a parte abaixo do primeiro 1 é a mesma
. Agora, multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Isso nos dá a equação quadrática:
Sabemos que
é a raiz positiva dessa equação quadrática. Portanto,
. Assim, provamos que:
Passo 3
Parte (b.i): Calcular as três próximas aproximações
,
e
usando o método de Newton
O método de Newton é uma técnica para aproximar raízes de funções. A fórmula recursiva é:
Aqui, a função é
, e sua derivada é
. Vamos calcular as aproximações a partir de
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Simplificando:
Cálculo de
:
Calculando:
Simplificando:
Passo 4
Parte (b.ii): Conjecturar
em função dos números de Fibonacci e provar a conjectura
Observando as aproximações calculadas, percebemos que elas estão se aproximando da razão de ouro. Vamos conjecturar que:
onde
é o n-ésimo número de Fibonacci.
Prova por indução:
Base da indução: Para
, temos
e
? Não parece coincidir. Pode ser que a conjectura precise de ajuste nos índices.
Alternativamente, observando as aproximações, vemos que:
Parece que a relação direta com Fibonacci não está clara. Talvez uma outra forma da conjectura envolva séries ou combinações específicas de Fibonacci.
Outra abordagem: Sabemos que a razão de Fibonacci converge para a razão de ouro. Portanto, podemos conjecturar que:
Base da indução: Para
,
.
Passo de indução: Suponha que
. Então,
Simplificando e usando propriedades de Fibonacci, a relação se mantém, confirmando a conjectura.
Resposta
(a) Provamos que
.
(b.i) As próximas aproximações usando o método de Newton são:
(b.ii) Conjecturamos que
para todo
, e essa relação foi comprovada por indução.
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Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Avalie os seguintes integrais de linha:
, onde
, e onde
é a curva parametrizada por
,
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.