Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função
é periódica. Se for, também precisamos encontrar o seu período fundamental. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades da função hiperbólica cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função
é chamada de periódica se existir um número
tal que, para todo valor de
, a função se repete a cada intervalo
. Matematicamente, isso é representado por:
O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. A função hiperbólica cosseno é definida por:
Queremos verificar se existe um valor
tal que:
Passo 4
Vamos calcular
usando a definição:
Para que
seja verdadeiro para todo
, devemos ter:
Isso implica que:
Simplificando:
A única solução para isso é
. No entanto, por definição, o período
deve ser maior que zero. Portanto, não existe um valor positivo de
que satisfaça a condição para a função
ser periódica.
Resposta
A função
não é periódica.