Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função é periódica. Se for, também precisamos encontrar o seu período fundamental. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades da função hiperbólica cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função é chamada de periódica se existir um número tal que, para todo valor de , a função se repete a cada intervalo . Matematicamente, isso é representado por:
O menor valor positivo de que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . A função hiperbólica cosseno é definida por:
Queremos verificar se existe um valor tal que:

Passo 4

Vamos calcular usando a definição:
Para que seja verdadeiro para todo , devemos ter:
Isso implica que:
Simplificando:
A única solução para isso é . No entanto, por definição, o período deve ser maior que zero. Portanto, não existe um valor positivo de que satisfaça a condição para a função ser periódica.

Resposta

A função não é periódica.

Exercícios relacionados

Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Seja a sequência de números reais :
a) Defina matematicamente a expressão . Dê um exemplo de uma sequência que é convergente para um certo valor real a.
b) Se for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Seja a sequência de Fibonacci, observe que
onde é a raíz positiva da equação quadrática . Este fenômeno foi observado pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630). O número é chamado a razão de ouro, que já era conhecida pelos gregos, ao menos dezesseis séculos antes de Fibonacci. Resolva os seguintes itens:
(a) Prove que .
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática . Com efeito, defina a fórmula recursiva
com o passo inicial.
i. Calcule as três póximas aproximações e , para a razão de ouro .
ii. Apresente uma conjectura para qualquer, em função dos números de Fibonacci. Prove tal conjectura, para todo .
Avalie os seguintes integrais de linha: , onde , e onde é a curva parametrizada por ,