Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função
é periódica. Se for, também precisamos encontrar o seu período fundamental. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades da função hiperbólica cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Uma função
é chamada de periódica se existir um número
tal que, para todo valor de
, a função se repete a cada intervalo
. Matematicamente, isso é representado por:
O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. A função hiperbólica cosseno é definida por:
Queremos verificar se existe um valor
tal que:
Passo 4
Vamos calcular
usando a definição:
Para que
seja verdadeiro para todo
, devemos ter:
Isso implica que:
Simplificando:
A única solução para isso é
. No entanto, por definição, o período
deve ser maior que zero. Portanto, não existe um valor positivo de
que satisfaça a condição para a função
ser periódica.
Resposta
A função
não é periódica.
Exercícios relacionados
Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Seja a sequência de números reais
:
a) Defina matematicamente a expressão . Dê um exemplo de uma sequência
que é convergente para um certo valor real a.
b) Se for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência
limitada e divergente.
a) Defina matematicamente a expressão
b) Se
Seja
a sequência de Fibonacci, observe que
onde
é a raíz positiva da equação quadrática
. Este fenômeno foi observado pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630). O número
é chamado a razão de ouro, que já era conhecida pelos gregos, ao menos dezesseis séculos antes de Fibonacci. Resolva os seguintes itens:
(a) Prove que .
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática . Com efeito, defina a fórmula recursiva
(a) Prove que
(b) Podemos estimar a razão de ouro, usando o famoso método de Newton de aproximação das raízes da função quadrática
com
o passo inicial.
i. Calcule as três póximas aproximações e
, para a razão de ouro
.
ii. Apresente uma conjectura para qualquer, em função dos números de Fibonacci. Prove tal conjectura, para todo
.
i. Calcule as três póximas aproximações
ii. Apresente uma conjectura para
Avalie os seguintes integrais de linha:
, onde
, e onde
é a curva parametrizada por
,