Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial
para esse campo. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele é o gradiente de alguma função potencial
, ou seja,
. Isso implica que o campo é irrotacional, ou seja, seu rotacional é zero:
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
para verificar se ele é conservativo. O rotacional em 3D é dado por:
Onde
,
, e
.
Passo 4
Calculando cada componente do rotacional:
Passo 5
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, o campo
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Comparando os dois lados:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Por fim, vamos usar a terceira equação para determinar
:
Comparando os dois lados:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função potencial é
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Calcule os limites que se pede. Caso o limite não exista, justifique este fato.
Avalie os seguintes integrais de linha.
, onde
, e onde
é a curva parametrizada por
,
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
onde
é a curva plana dada por
.
Descreva as superfícies de nível da função: