Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial de . em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para esse campo. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele é o gradiente de alguma função potencial , ou seja, . Isso implica que o campo é irrotacional, ou seja, seu rotacional é zero: .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de para verificar se ele é conservativo. O rotacional em 3D é dado por:
Onde , , e .

Passo 4

Calculando cada componente do rotacional:

Passo 5

Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, o campo é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Comparando os dois lados:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 8

Por fim, vamos usar a terceira equação para determinar :
Comparando os dois lados:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função potencial é

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