Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
sobre o
(dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo no plano
excluindo a origem, ou seja,
. Isso envolve entender conceitos de campos vetoriais conservativos, como o que é necessário para que um campo seja conservativo e como encontrar um potencial se for o caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Isso implica que o campo é independente do caminho e que a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado é zero.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, uma condição necessária é que o rotacional de
seja zero. No plano, o rotacional de
é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso campo.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, calculamos o rotacional:
Então, o rotacional de
é zero, o que é uma condição favorável para que o campo seja conservativo.
Passo 7
Apesar do rotacional ser zero, é importante verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo. Um domínio simplesmente conexo não tem “furos”, ou seja, qualquer ciclo pode ser contraído continuamente a um ponto.
Passo 8
No nosso caso, o domínio é
, que não é simplesmente conexo porque falta a origem. Isso significa que existem caminhos fechados que circundam a origem e que não podem ser contraídos a um ponto sem sair do domínio.
Passo 9
Em domínios não simplesmente conexos, mesmo que o rotacional seja zero, o campo pode não ser conservativo. De fato, para o campo
dado, a integral de linha ao redor de um círculo que envolve a origem não é zero, indicando que
não é conservativo nesse domínio.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo no domínio
.
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Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
sobre o plano
;
Avalie os seguintes integrais de linha.
onde
é a curva em
dada por
, onde
e a são constantes.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.
Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial de
.
em
.