Por cada um dos seguintes campos vetoriais F, determine se F é conservativo. Se sim, calcule um potencial de F.
F(x, y) = (-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)) sobre o R^2 \ (0,0) (dica: use o ponto 4 do exercicio precedente);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo no plano R^2 excluindo a origem, ou seja, R^2 \ (0,0). Isso envolve entender conceitos de campos vetoriais conservativos, como o que é necessário para que um campo seja conservativo e como encontrar um potencial se for o caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existe uma função escalar tal que , onde é o gradiente de U. Isso implica que o campo é independente do caminho e que a integral de linha ao redor de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, uma condição necessária é que o rotacional de F seja zero. No plano, o rotacional de é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso campo.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, calculamos o rotacional:
Então, o rotacional de F é zero, o que é uma condição favorável para que o campo seja conservativo.

Passo 7

Apesar do rotacional ser zero, é importante verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo. Um domínio simplesmente conexo não tem “furos”, ou seja, qualquer ciclo pode ser contraído continuamente a um ponto.

Passo 8

No nosso caso, o domínio é R^2 \ (0,0), que não é simplesmente conexo porque falta a origem. Isso significa que existem caminhos fechados que circundam a origem e que não podem ser contraídos a um ponto sem sair do domínio.

Passo 9

Em domínios não simplesmente conexos, mesmo que o rotacional seja zero, o campo pode não ser conservativo. De fato, para o campo F dado, a integral de linha ao redor de um círculo que envolve a origem não é zero, indicando que F não é conservativo nesse domínio.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo no domínio R^2 \ (0,0).

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