Identifique as superfícies parametrizadas pelas funções abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar as superfícies parametrizadas pela função vetorial
, onde
varia de
a
e
é qualquer número real.
Aqui, estamos trabalhando com parametrização de superfícies, que é um conceito de geometria analítica no cálculo vetorial. Basicamente, uma superfície pode ser descrita por uma função que associa cada par de parâmetros
a um ponto no espaço tridimensional.
Vamos precisar usar trigonometria para entender as componentes da função e como elas se relacionam para formar a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente:
Aqui, temos três componentes:
Observamos que
depende apenas de
, enquanto
e
dependem de
.
Passo 3
Agora, vamos tentar eliminar os parâmetros
e
para encontrar uma equação que relaciona
,
e
diretamente.
Como
, isso significa que
varia diretamente com
. Portanto, podemos dizer que
.
Em seguida, observamos as componentes
e
:
Vamos lembrar da identidade trigonométrica:
Podemos rearranjar essa identidade para expressar
:
Passo 4
Substituindo
e
na identidade, temos:
Essa é a equação de um cilindro elíptico, onde a variável
é livre para variar no intervalo
.
Passo 5
Então, juntando tudo, concluímos que a superfície parametrizada por
é um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo
, já que
varia livremente enquanto
e
descrevem uma elipse.
Resposta
A superfície parametrizada é um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo
, definido pela equação
e
variando entre
e
.