Identifique as superfícies parametrizadas pelas funções abaixo
r(u, v) = (3 cos(v), u, sen(v)), u em [-1, 1], v em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar as superfícies parametrizadas pela função vetorial , onde varia de a e é qualquer número real.
Aqui, estamos trabalhando com parametrização de superfícies, que é um conceito de geometria analítica no cálculo vetorial. Basicamente, uma superfície pode ser descrita por uma função que associa cada par de parâmetros a um ponto no espaço tridimensional.
Vamos precisar usar trigonometria para entender as componentes da função e como elas se relacionam para formar a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente:
Aqui, temos três componentes:
Observamos que depende apenas de , enquanto e dependem de .

Passo 3

Agora, vamos tentar eliminar os parâmetros e para encontrar uma equação que relaciona , e diretamente.
Como , isso significa que varia diretamente com . Portanto, podemos dizer que .
Em seguida, observamos as componentes e :
Vamos lembrar da identidade trigonométrica:
Podemos rearranjar essa identidade para expressar :

Passo 4

Substituindo e na identidade, temos:
Essa é a equação de um cilindro elíptico, onde a variável é livre para variar no intervalo .

Passo 5

Então, juntando tudo, concluímos que a superfície parametrizada por é um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo , já que varia livremente enquanto e descrevem uma elipse.

Resposta

A superfície parametrizada é um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo , definido pela equação e variando entre e .

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