Em cada uma das seguintes afirmações, (a_n)_{n=1}^\infty e (b_n)_{n=1}^\infty representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(f) Se(a_n) e b_n são ambas divergentes, então a_n . b_n é divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a afirmação “Se e são ambas divergentes, então é divergente” é verdadeira ou falsa. A gente está no tópico de sequências numéricas e vai precisar entender o que significa uma sequência divergir e como funciona a multiplicação de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência divergente. Uma sequência é chamada divergente se ela não converge para nenhum número real específico. Ou seja, ela não tem um limite finito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação. Ela diz que se duas sequências e não convergem (são divergentes), então o produto delas também não vai convergir.

Passo 4

Para verificar se isso é sempre verdade, a gente precisa pensar em um contrexemplo, ou seja, encontrar duas sequências que são divergentes, mas o produto delas é convergente.

Passo 5

Vamos considerar as sequências:
  • : Essa sequência alterna entre 1 e -1, então não converge, ou seja, é divergente.
  • : Mesma coisa, alterna entre 1 e -1, também é divergente.

Passo 6

Agora, vamos multiplicar essas duas sequências:
Então, o produto é a sequência constante 1, que obviamente converge para 1.

Passo 7

Como encontramos duas sequências divergentes cujo produto converge, isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

Falso. Por exemplo, se e , ambas as sequências divergem, mas converge.

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