Em cada uma das seguintes afirmações,
representa sequências de números reais Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falso. Se for verdade, justifique. Se for falso, forneça um contraexemplo.
(f)
e
são ambas divergentes, então
é divergente.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a afirmação “Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente” é verdadeira ou falsa. A gente está no tópico de sequências numéricas e vai precisar entender o que significa uma sequência divergir e como funciona a multiplicação de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência divergente. Uma sequência
é chamada divergente se ela não converge para nenhum número real específico. Ou seja, ela não tem um limite finito.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação. Ela diz que se duas sequências
e
não convergem (são divergentes), então o produto delas
também não vai convergir.
Passo 4
Para verificar se isso é sempre verdade, a gente precisa pensar em um contrexemplo, ou seja, encontrar duas sequências que são divergentes, mas o produto delas é convergente.
Passo 5
Vamos considerar as sequências:
-
: Essa sequência alterna entre 1 e -1, então não converge, ou seja, é divergente. -
: Mesma coisa, alterna entre 1 e -1, também é divergente.
Passo 6
Agora, vamos multiplicar essas duas sequências:
Então, o produto
é a sequência constante 1, que obviamente converge para 1.
Passo 7
Como encontramos duas sequências divergentes cujo produto converge, isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
Falso. Por exemplo, se
e
, ambas as sequências divergem, mas
converge.