) Avalie o valor médio da energia cinética e da energia potencial para um oscilador harmônico no seu estado fundamental. Comente a magnitude desta quantidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o valor médio da energia cinética e da energia potencial de um oscilador harmônico no seu estado fundamental. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre como a energia se distribui em partículas que vibram em torno de um ponto de equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender os níveis de energia do oscilador harmônico e como as energias cinética e potencial se relacionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica quântica, um oscilador harmônico tem níveis de energia bem definidos, conhecidos como níveis de energia quantizados. A energia total do sistema no n-ésimo estado é dada por:
En = (n + 12)hbaromega
Aqui, representa o nível de energia, é a constante de Planck reduzida, e é a frequência angular do oscilador.

Passo 3

No estado fundamental, que é o estado de menor energia possível, temos E0 = (0 + 12)hbaromega = 12hbaromega . Substituindo na fórmula acima, a energia total no estado fundamental é:

Passo 4

Agora, sabemos que a energia total E = lang<= T rang<= + lang<= V rang<= de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética lang<= T rang<= = lang<= V rang<= e da energia potencial :
Além disso, pela teoria do oscilador harmônico quântico, no estado fundamental, as energias cinética e potencial são iguais em média. Ou seja:

Passo 5

Usando essas informações, podemos escrever:
E = lang<= T rang<= + lang<= T rang<= = 2lang<= T rang<=
Isso implica que:
lang<= T rang<= = E2
E, como lang<= V rang<= = E2 :

Passo 6

Substituindo a energia total no estado fundamental que calculamos anteriormente:
lang<= T rang<= = lang<= V rang<= = 12hbaromega2 = 14hbaromega

Resposta

Portanto, no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico, o valor médio da energia cinética é igual ao valor médio da energia potencial , e ambos são iguais a . Isso mostra que a energia está igualmente distribuída entre a cinética e a potencial nesse estado fundamental.

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