) Avalie o valor médio da energia cinética e da energia potencial para um oscilador harmônico no seu estado fundamental. Comente a magnitude desta quantidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o valor médio da energia cinética e da energia potencial de um oscilador harmônico no seu estado fundamental. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre como a energia se distribui em partículas que vibram em torno de um ponto de equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender os níveis de energia do oscilador harmônico e como as energias cinética e potencial se relacionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica quântica, um oscilador harmônico tem níveis de energia bem definidos, conhecidos como níveis de energia quantizados. A energia total do sistema no n-ésimo estado é dada por:
Aqui, representa o nível de energia, é a constante de Planck reduzida, e é a frequência angular do oscilador.

Passo 3

No estado fundamental, que é o estado de menor energia possível, temos . Substituindo na fórmula acima, a energia total no estado fundamental é:

Passo 4

Agora, sabemos que a energia total de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Além disso, pela teoria do oscilador harmônico quântico, no estado fundamental, as energias cinética e potencial são iguais em média. Ou seja:

Passo 5

Usando essas informações, podemos escrever:
Isso implica que:
E, como :

Passo 6

Substituindo a energia total no estado fundamental que calculamos anteriormente:

Resposta

Portanto, no estado fundamental de um oscilador harmônico quântico, o valor médio da energia cinética é igual ao valor médio da energia potencial , e ambos são iguais a . Isso mostra que a energia está igualmente distribuída entre a cinética e a potencial nesse estado fundamental.

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b) A função de onda no tempo t é dada por:
Sendo e dois números reais
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ou
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