Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
V(x)=m w x^22
Em que n> denota o autoestado de energia:
En=(n+12) hbar w
(b) Verifique se o teorema de Virial vale para os valores esperados da energia cinética e da energia potencial tomados para um autoestado de energia

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o Teorema de Virial se aplica a um oscilador harmônico unidimensional. Basicamente, temos um potencial e uma energia nos estados . Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema de Virial e calcular as energias cinética e potencial nos autoestados de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Virial. Ele relaciona a energia cinética média 2 lang<= T rang<= = n lang<= V rang<= com a energia potencial média de um sistema. Para um potencial da forma , o teorema diz que:
No nosso caso, o potencial é , que é proporcional a . Então, aqui .

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia total En = (n + 12) hbar omega do oscilador harmônico. Sabemos que:
En = lang<= T rang<= + lang<= V rang<=
Essas energias são compostas pela energia cinética e pela energia potencial :

Passo 4

Para o oscilador harmônico, há uma relação especial entre 2 lang<= T rang<= = 2 lang<= V rang<= implies lang<= T rang<= = lang<= V rang<= e En = lang<= T rang<= + lang<= V rang<= = lang<= V rang<= + lang<= V rang<= = 2 lang<= V rang<= . Pelo Teorema de Virial com lang<= V rang<= = En2 = 12 (n + 12) hbar omega :
lang<= T rang<= = 12 (n + 12) hbar omega
Então, a energia total fica:
Daí podemos resolver para :
E como , também temos:

Passo 5

Agora, vamos verificar se o Teorema de Virial está de acordo com nossos cálculos. Segundo o teorema:
2 lang<= T rang<= = 2 times 12 (n + 12) hbar omega = (n + 12) hbar omega
E:
2 lang<= V rang<= = 2 times 12 (n + 12) hbar omega = (n + 12) hbar omega
Então, , confirmando que o Teorema de Virial é válido para esse sistema.

Resposta

Sim, o Teorema de Virial é satisfeito para os valores esperados da energia cinética e da energia potencial nos autoestados de energia do oscilador harmônico unidimensional.

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