Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
Em que
denota o autoestado de energia:
(b) Verifique se o teorema de Virial vale para os valores esperados da energia cinética e da energia potencial tomados para um autoestado de energia
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o Teorema de Virial se aplica a um oscilador harmônico unidimensional. Basicamente, temos um potencial
e uma energia nos estados
. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema de Virial e calcular as energias cinética e potencial nos autoestados de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Virial. Ele relaciona a energia cinética média
com a energia potencial média
de um sistema. Para um potencial da forma
, o teorema diz que:
No nosso caso, o potencial é
, que é proporcional a
. Então, aqui
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia total
do oscilador harmônico. Sabemos que:
Essas energias são compostas pela energia cinética
e pela energia potencial
:
Passo 4
Para o oscilador harmônico, há uma relação especial entre
e
. Pelo Teorema de Virial com
:
Então, a energia total fica:
Daí podemos resolver para
:
E como
, também temos:
Passo 5
Agora, vamos verificar se o Teorema de Virial está de acordo com nossos cálculos. Segundo o teorema:
E:
Então,
, confirmando que o Teorema de Virial é válido para esse sistema.
Resposta
Sim, o Teorema de Virial é satisfeito para os valores esperados da energia cinética e da energia potencial nos autoestados de energia do oscilador harmônico unidimensional.