Dada uma barreira de potencial de altura 1 eV e largura de 3 AA, suponha um elétron vindo da esquerda para direita com energia constante 0,5 eV.
(a) Calcule o coeficiente de transmissão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma barreira de potencial com altura de 1 eV e largura de . Temos um elétron chegando de um lado com energia constante de 0,5 eV. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica quântica, especificamente sobre túnel quântico e coeficiente de transmissão. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que descrevem a probabilidade de um elétron “passar” por essa barreira mesmo tendo menos energia que a altura dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação: o elétron tem uma energia menor que a altura da barreira. Na mecânica clássica, isso significaria que o elétron não conseguiria passar. Porém, na mecânica quântica, há uma chance dele “túnel” passar pela barreira. Essa chance é quantificada pelo coeficiente de transmissão , que queremos calcular.

Passo 3

A fórmula para o coeficiente de transmissão T = e^-2 gamma L em uma barreira retangular é dada por:
gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2
onde é dado por:
Aqui:
  • é a massa do elétron,
  • é a altura da barreira,
  • é a energia do elétron,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a largura da barreira.

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:

Passo 5

Primeiro, vamos converter as energias de eV para joules, já que as outras unidades estão no Sistema Internacional:
1 eV = 1,602 times 10^-19 J
Portanto:
V0 - E = 1 eV - 0,5 eV = 0,5 eV = 0,5 times 1,602 times 10^-19 J = 8,01 times 10^-20 J

Passo 6

Agora, calculamos gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2 = raiz2 times 9,11 times 10^-31 times 8,01 times 10^-20(1,055 times 10^-34)^2 :

Passo 7

Vamos simplificar o cálculo passo a passo:
2m = 2 times 9,11 times 10^-31 = 1,822 times 10^-30 kg
2m(V0 - E) = 1,822 times 10^-30 times 8,01 times 10^-20 = 1,458 times 10^-49 kg·J
hbar^2 = (1,055 times 10^-34)^2 = 1,113 times 10^-68 J^2s^2
2m(V0 - E)hbar^2 = 1,458 times 10^-491,113 times 10^-68 approx 1,310 times 10^19 m^-2
gamma = raiz1,310 times 10^19 approx 3,620 times 10^9 m^-1

Passo 8

Agora, vamos calcular o coeficiente de transmissão T = e^-2 gamma L = e^-2 times 3,620 times 10^9 times 3 times 10^-10 = e^-2 times 3,620 times 10^9 times 3 times 10^-10 :
= e^-2 times 1,086 = e^-2,172 approx 0,114

Resposta

O coeficiente de transmissão é aproximadamente 0,114.

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