(b) Encontre uma expressão para a constante de amortecimento b do sistema mola - amortecedor de uma das rodas em termos do período, da constante
e da massa m que cada roda sustenta.
© Qual o valor da constante de amortecimento b?
(d) Calcule b fazendo a seguinte aproximação:
, onde
.
© Qual o valor da constante de amortecimento b?
(d) Calcule b fazendo a seguinte aproximação:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com um sistema de mola-amortecedor, que é um modelo usado para representar, por exemplo, a suspensão de uma roda de um veículo. Os parâmetros envolvidos são:
- Constante da mola (
): Indica a rigidez da mola. - Massa (
): A massa que a mola está sustentando. - Constante de amortecimento (
): Representa a resistência ao movimento, como o atrito. - Período (
): Tempo que o sistema leva para completar uma oscilação.
Vamos precisar dessas variáveis para encontrar uma expressão para
, determinar seu valor e fazer um cálculo aproximado utilizando a frequência natural não amortecida (
).
Passo 2
Para encontrar uma expressão para a constante de amortecimento
, vamos relacionar o período
com os demais parâmetros do sistema. Sabemos que para um sistema massa-mola-amortecedor, a frequência angular amortecida (
) está relacionada com o período por:
Além disso, a frequência angular amortecida também é dada por:
Igualando as duas expressões para
, temos:
Passo 3
Vamos isolar
nessa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Agora, vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor da constante de amortecimento
, precisamos dos valores específicos de
,
e
. Porém, como esses valores não foram fornecidos na questão, manteremos a expressão geral:
Passo 5
Para calcular
fazendo a aproximação
, onde
, substituímos
por
na equação original:
Isso implica que:
Portanto, sob essa aproximação, a constante de amortecimento
tende a zero. No entanto, na prática, sempre haverá algum amortecimento, então essa aproximação é válida apenas para sistemas com muito baixo amortecimento.
Resposta
A constante de amortecimento
pode ser expressa por:
E, ao fazer a aproximação
, obtemos que
, indicando um sistema com amortecimento insignificante.