(b) Encontre uma expressão para a constante de amortecimento b do sistema mola - amortecedor de uma das rodas em termos do período, da constante k e da massa m que cada roda sustenta.
© Qual o valor da constante de amortecimento b?
(d) Calcule b fazendo a seguinte aproximação: omega^prime cong omega0, onde omega0=raizk / m.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com um sistema de mola-amortecedor, que é um modelo usado para representar, por exemplo, a suspensão de uma roda de um veículo. Os parâmetros envolvidos são:
  • Constante da mola ( k): Indica a rigidez da mola.
  • Massa ( m): A massa que a mola está sustentando.
  • Constante de amortecimento ( b): Representa a resistência ao movimento, como o atrito.
  • Período ( T): Tempo que o sistema leva para completar uma oscilação.
Vamos precisar dessas variáveis para encontrar uma expressão para b, determinar seu valor e fazer um cálculo aproximado utilizando a frequência natural não amortecida ( omega0).

Passo 2

Para encontrar uma expressão para a constante de amortecimento b, vamos relacionar o período T com os demais parâmetros do sistema. Sabemos que para um sistema massa-mola-amortecedor, a frequência angular amortecida ( omega') está relacionada com o período por:
omega' = 2piT
Além disso, a frequência angular amortecida também é dada por:
omega' = raizkm - (b2m)^2
Igualando as duas expressões para omega', temos:
2piT = raizkm - (b2m)^2

Passo 3

Vamos isolar b nessa equação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(2piT)^2 = km - (b2m)^2
Multiplicando todos os termos por m para simplificar:
4pi^2 mT^2 = k - b^24m
Agora, vamos isolar b^24m:
b^24m = k - 4pi^2 mT^2
Multiplicando ambos os lados por 4m:
b^2 = 4m (k - 4pi^2 mT^2)
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
b = 2raizm (k - 4pi^2 mT^2)

Passo 4

Agora, para encontrar o valor da constante de amortecimento b, precisamos dos valores específicos de k, m e T. Porém, como esses valores não foram fornecidos na questão, manteremos a expressão geral:
b = 2raizm (k - 4pi^2 mT^2)

Passo 5

Para calcular b fazendo a aproximação omega' cong omega0, onde omega0 = raizkm, substituímos omega' por omega0 na equação original:
omega0 = raizkm = raizkm - (b2m)^2
Isso implica que:
(b2m)^2 = 0
Portanto, sob essa aproximação, a constante de amortecimento b tende a zero. No entanto, na prática, sempre haverá algum amortecimento, então essa aproximação é válida apenas para sistemas com muito baixo amortecimento.

Resposta

A constante de amortecimento b pode ser expressa por:
b = 2raizm (k - 4pi^2 mT^2)
E, ao fazer a aproximação omega' cong omega0, obtemos que b approx 0, indicando um sistema com amortecimento insignificante.

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