Um avião levanta voo a partir da posição (0, 0, 0) e segue a trajetória abaixo descrita pela função vetorial r(t) = (t^3, 6t, 3t^2),
em que as distâncias são medidas em metros e o tempo em minutos. Sabendo que a altitude de cruzeiro do avião (onde ele para de subir) é de 10800 metros, determine.
Qual a distância percorrida pelo avião até chegar a altitude de cruzeiro.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um avião que decola da posição inicial (0, 0, 0) e segue uma trajetória descrita pela função vetorial r(t) = (t^3, 6t, 3t^2), onde t é o tempo em minutos e as distâncias são medidas em metros. O objetivo é determinar a distância que o avião percorre até atingir a altitude de cruzeiro de 10.800 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e integrais, além de como calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual componente da função vetorial representa a altitude do avião. Na função r(t) = (t^3, 6t, 3t^2), a terceira componente, , representa a altitude.
Queremos saber em qual instante de tempo t o avião atinge a altitude de 10.800 metros. Para isso, igualamos z(t) a 10.800 e resolvemos para t:
Dividindo ambos os lados por 3:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o avião atinge a altitude de cruzeiro aos 60 minutos de voo.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância percorrida pelo avião até esse momento. Para isso, vamos calcular o comprimento da trajetória da função vetorial vec(r)(t) desde t = 0 até minutos.
A fórmula para calcular a distância percorrida por uma função vetorial é dada pela integral da magnitude da sua velocidade:
â
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial vec(r)(t):

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude da velocidade :
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos a magnitude da velocidade na integral para encontrar a distância:
â
Calculamos a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A distância percorrida pelo avião até atingir a altitude de cruzeiro é de 216.360 metros.

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