Um avião levanta voo a partir da posição
e segue a trajetória abaixo descrita pela função vetorial
,
em que as distâncias são medidas em metros e o tempo em minutos. Sabendo que a altitude de cruzeiro do avião (onde ele para de subir) é de 10800 metros, determine.
Qual a distância percorrida pelo avião até chegar a altitude de cruzeiro.
Qual a distância percorrida pelo avião até chegar a altitude de cruzeiro.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um avião que decola da posição inicial
e segue uma trajetória descrita pela função vetorial
, onde
é o tempo em minutos e as distâncias são medidas em metros. O objetivo é determinar a distância que o avião percorre até atingir a altitude de cruzeiro de 10.800 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e integrais, além de como calcular a magnitude de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual componente da função vetorial representa a altitude do avião. Na função
, a terceira componente,
, representa a altitude.
Queremos saber em qual instante de tempo
o avião atinge a altitude de 10.800 metros. Para isso, igualamos
a 10.800 e resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por 3:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o avião atinge a altitude de cruzeiro aos 60 minutos de voo.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a distância percorrida pelo avião até esse momento. Para isso, vamos calcular o comprimento da trajetória da função vetorial
desde
até
minutos.
A fórmula para calcular a distância percorrida por uma função vetorial é dada pela integral da magnitude da sua velocidade:
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
:
Passo 4
Agora, calculamos a magnitude da velocidade
:
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos a magnitude da velocidade na integral para encontrar a distância:
Calculamos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A distância percorrida pelo avião até atingir a altitude de cruzeiro é de 216.360 metros.