Onde wé a altura da onda, x é a variável distância ao longo da superfície do mar,
é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
a)
b)
c)
Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
a)
b)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação de onda dada por:
Nosso objetivo é mostrar que as funções fornecidas nos itens a), b) e c) satisfazem essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
para cada função e verificar se a igualdade é válida.
Passo 2
Vamos começar com a função do item a):
Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação ao tempo
:
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação de onda:
Como as duas expressões são iguais, a função do item a) é uma solução da equação de onda.
Passo 5
Repitamos o mesmo processo para a função do item b):
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na equação de onda:
Como ambas as expressões são iguais, a função do item b) também é uma solução da equação de onda.
Passo 6
Por fim, analisamos a função do item c):
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
para cada termo separadamente.
Para o primeiro termo
:
Para o segundo termo
:
Somando as derivadas:
Como as duas expressões são iguais, a função do item c) também satisfaz a equação de onda.
Resposta
Todas as funções dos itens a), b) e c) são soluções da equação de onda dada.