partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2
Onde wé a altura da onda, x é a variável distância ao longo da superfície do mar, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
a) w=sen(x+c t)
b) w=ln (2 x+2 c t)
c) w=sen(x+c t)+cos (2 x+2 c t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação de onda dada por:
partial^2 wpartial t^2 = c^2 partial^2 wpartial x^2
Nosso objetivo é mostrar que as funções fornecidas nos itens a), b) e c) satisfazem essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e para cada função e verificar se a igualdade é válida.

Passo 2

Vamos começar com a função do item a):
w = sin(x + ct)
Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial de partial wpartial x = cos(x + ct) em relação a partial^2 wpartial x^2 = -sin(x + ct) :
Em seguida, a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais em relação ao tempo partial wpartial t = c cos(x + ct) :
partial^2 wpartial t^2 = -c^2 sin(x + ct)

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação de onda:
partial^2 wpartial t^2 = -c^2 sin(x + ct)
c^2 partial^2 wpartial x^2 = c^2 (-sin(x + ct)) = -c^2 sin(x + ct)
Como as duas expressões são iguais, a função do item a) é uma solução da equação de onda.

Passo 5

Repitamos o mesmo processo para a função do item b):
w = ln(2x + 2ct)
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial wpartial x = 22x + 2ct = 1x + ct em relação a partial^2 wpartial x^2 = -1(x + ct)^2 e partial wpartial t = 2c2x + 2ct = cx + ct :
partial^2 wpartial t^2 = -c^2(x + ct)^2
partial^2 wpartial t^2 = -c^2(x + ct)^2
c^2 partial^2 wpartial x^2 = c^2 ( -1(x + ct)^2 ) = -c^2(x + ct)^2
Substituindo na equação de onda:
Como ambas as expressões são iguais, a função do item b) também é uma solução da equação de onda.

Passo 6

Por fim, analisamos a função do item c):
w = sin(x + ct) + cos(2x + 2ct)
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a partial^2partial x^2 sin(x + ct) = -sin(x + ct) e partial^2partial t^2 sin(x + ct) = -c^2 sin(x + ct) para cada termo separadamente.
Para o primeiro termo partial^2partial x^2 cos(2x + 2ct) = -4cos(2x + 2ct) :
partial^2partial t^2 cos(2x + 2ct) = -4c^2 cos(2x + 2ct)
partial^2 wpartial t^2 = -c^2 sin(x + ct) -4c^2 cos(2x + 2ct)
Para o segundo termo c^2 partial^2 wpartial x^2 = c^2 (-sin(x + ct) -4cos(2x + 2ct)) = -c^2 sin(x + ct) -4c^2 cos(2x + 2ct) :
Somando as derivadas:
Como as duas expressões são iguais, a função do item c) também satisfaz a equação de onda.

Resposta

Todas as funções dos itens a), b) e c) são soluções da equação de onda dada.

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