Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
F(x, y, z) = (sen(y) cos(x), sen(x) cos(y), 1)
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária C que liga os pontos P1 = (1, 0, 0) ao ponto P2 = (0, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula de um ponto para outro ponto ao longo de uma curva qualquer . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais, além de calcular integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero, ou seja, . Se for conservativo, o trabalho realizado dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 3

Calculando o rotacional de :
Onde , e .

Passo 4

Calculando cada componente:
Então,
Como o rotacional é zero, é um campo vetorial conservativo.

Passo 5

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . Vamos encontrar :
Portanto, a função potencial é:

Passo 6

O trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de para é a diferença do potencial nos pontos finais:
Calculando:
Então,

Resposta

O trabalho realizado é igual a .

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