Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga os pontos
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao mover uma partícula de um ponto
para outro ponto
ao longo de uma curva qualquer
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais, além de calcular integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero, ou seja,
. Se for conservativo, o trabalho realizado dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 3
Calculando o rotacional de
:
Onde
,
e
.
Passo 4
Calculando cada componente:
Então,
Como o rotacional é zero,
é um campo vetorial conservativo.
Passo 5
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar
:
Portanto, a função potencial é:
Passo 6
O trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de
para
é a diferença do potencial nos pontos finais:
Calculando:
Então,
Resposta
O trabalho realizado é igual a
.