Considere as funções f(x) = e^x e g(x) = ln x. Em que ponto cada uma dessas funções tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x -> infinito ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
Queremos descobrir em que ponto cada uma dessas funções tem a curvatura máxima e o que acontece com a curvatura quando tende ao infinito ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é curvatura de uma função. A curvatura nos mostra o quanto a função está “curvando” em um ponto específico. A fórmula para calcular a curvatura ( ) de uma função é:
Aqui, é a primeira derivada (representa a inclinação da função) e é a segunda derivada (representa a concavidade da função).

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas das duas funções.
Para :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Para :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da curvatura para cada função.
Curvatura de :
Curvatura de :

Passo 4

Para encontrar o ponto de curvatura máxima, precisamos encontrar o valor de que maximiza para cada função.
Vamos começar com .
Para :
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero.
Derivada de :
Simplificando:
Igualando a zero:
Como nunca é zero, temos:
Logo, o ponto de curvatura máxima para ocorre em:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto de curvatura máxima para .
Para :
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero.
Derivada de :
Simplificando:
Igualando a zero:
Então, o ponto de curvatura máxima para ocorre em:

Passo 6

Finalmente, vamos analisar o que acontece com a curvatura quando tende ao infinito ( ) para ambas as funções.
Para :
Quando , . Portanto, a curvatura de tende a zero.
Para :
Quando , . Portanto, a curvatura de também tende a zero.

Resposta

  • A função tem curvatura máxima em .
  • A função tem curvatura máxima em .
  • Em ambos os casos, quando tende ao infinito, a curvatura tende a zero.

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