Considere as funções e . Em que ponto cada uma dessas funções tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando ?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
Queremos descobrir em que ponto cada uma dessas funções tem a curvatura máxima e o que acontece com a curvatura quando tende ao infinito ().
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é curvatura de uma função. A curvatura nos mostra o quanto a função está “curvando” em um ponto específico. A fórmula para calcular a curvatura () de uma função é:
Aqui, é a primeira derivada (representa a inclinação da função) e é a segunda derivada (representa a concavidade da função).
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas das duas funções.
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula da curvatura para cada função.
Curvatura de :
Curvatura de :
Passo 4
Para encontrar o ponto de curvatura máxima, precisamos encontrar o valor de que maximiza para cada função.
Vamos começar com .
Para :
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero.
Derivada de :
Simplificando:
Igualando a zero:
Como nunca é zero, temos:
Logo, o ponto de curvatura máxima para ocorre em:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ponto de curvatura máxima para .
Para :
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero.
Derivada de :
Simplificando:
Igualando a zero:
Então, o ponto de curvatura máxima para ocorre em:
Passo 6
Finalmente, vamos analisar o que acontece com a curvatura quando tende ao infinito () para ambas as funções.
Para :
Quando , . Portanto, a curvatura de tende a zero.
Para :
Quando , . Portanto, a curvatura de também tende a zero.
Resposta
A função tem curvatura máxima em .
A função tem curvatura máxima em .
Em ambos os casos, quando tende ao infinito, a curvatura tende a zero.