Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.
vec{r}(t) = (cos(t), sen(t), ln(cos(t))), P = (1, 0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para determinar as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto . Vamos precisar usar conceitos de derivadas de vetores, cálculo de vetores tangentes e normais, e entender o que são os planos normal e osculador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o parâmetro que corresponde ao ponto na curva dada por . Precisamos encontrar o valor de tal que .

Passo 3

Vamos igualar cada componente:
  1. (já que )
Então, o ponto corresponde a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da posição para obter o vetor tangente :
No ponto :
Então, o vetor tangente .

Passo 5

O plano normal é perpendicular ao vetor tangente. Portanto, a equação do plano normal no ponto é dada por:
Onde e .
Substituindo:
Então, a equação do plano normal é .

Passo 6

Para encontrar o plano osculador, precisamos do vetor binormal , que é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal .
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada :
No :
O vetor normal é a derivada do vetor tangente normalizada. Mas para simplificar, sabemos que o plano osculador é definido pelo vetor tangente e o vetor normal. Portanto, o plano osculador contém tanto quanto .
A equação do plano osculador é:
Calculando o produto vetorial:
Então, a equação do plano osculador é:

Resposta

As equações dos planos são:
  • Plano Normal:
  • Plano Osculador:

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