Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para determinar as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto
. Vamos precisar usar conceitos de derivadas de vetores, cálculo de vetores tangentes e normais, e entender o que são os planos normal e osculador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o parâmetro
que corresponde ao ponto
na curva dada por
. Precisamos encontrar o valor de
tal que
.
Passo 3
Vamos igualar cada componente:
-
➔ (já que ) -
➔ -
➔ ➔
Então, o ponto
corresponde a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da posição
para obter o vetor tangente
:
No ponto
:
Então, o vetor tangente
.
Passo 5
O plano normal é perpendicular ao vetor tangente. Portanto, a equação do plano normal no ponto
é dada por:
Onde
e
.
Substituindo:
Então, a equação do plano normal é
.
Passo 6
Para encontrar o plano osculador, precisamos do vetor binormal
, que é perpendicular tanto ao vetor tangente
quanto ao vetor normal
.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
:
No
:
O vetor normal
é a derivada do vetor tangente normalizada. Mas para simplificar, sabemos que o plano osculador é definido pelo vetor tangente e o vetor normal. Portanto, o plano osculador contém tanto
quanto
.
A equação do plano osculador é:
Calculando o produto vetorial:
Então, a equação do plano osculador é:
Resposta
As equações dos planos são:
- Plano Normal:
- Plano Osculador: