Um avião está mergulhando com um ângulo theta abaixo da horizontal, a uma velocidade de módulo v0, quando o piloto libera um chamariz. De que altura foi lançado?
28(10^a Ed). Na figura abaixo, uma pedra é lançada para o alto de um rochedo de altura h com uma velocidade inicial v0 e um ângulo theta com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, em um tempo t após o lançamento. Determine (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A e © a altura máxima H alcançada acima do solo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto (uma pedra) que é lançado para cima a partir do topo de um rochedo. A pedra tem uma velocidade inicial de módulo e é lançada com um ângulo em relação à horizontal. Depois de um tempo , a pedra cai em um ponto . Precisamos resolver três partes:
(a) Determinar a altura do rochedo.
(b) Encontrar a velocidade da pedra imediatamente antes de ela impactar no ponto .
© Calcular a altura máxima que a pedra atinge acima do solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetil, que envolvem decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, além das equações do movimento uniformemente variado para a direção vertical.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): determinar a altura y(t) = h + v0 sin(theta) t - 12 g t^2 do rochedo.
Primeiro, vamos analisar o movimento na direção vertical. A posição vertical da pedra em qualquer instante 0 = h + v0 sin(theta) t - 12 g t^2 pode ser descrita pela equação:
h = 12 g t^2 - v0 sin(theta) t
Aqui:
  • é a posição vertical da pedra no tempo .
  • é a altura inicial do rochedo.
  • é a componente vertical da velocidade inicial.
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
No ponto , a pedra atinge o solo, ou seja, . Então, podemos igualar a equação a zero e resolver para :
Isolando :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a velocidade da pedra imediatamente antes de impactar no ponto vx = v0 cos(theta) .
A velocidade da pedra tem duas componentes: horizontal ( vy = v0 sin(theta) - g t ) e vertical ( |v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(v0 cos(theta))^2 + (v0 sin(theta) - g t)^2 ).
  1. Componente Horizontal ( ):
    A velocidade horizontal permanece constante durante o voo, pois não há aceleração na direção horizontal (desconsiderando a resistência do ar). Então:
  2. Componente Vertical ( ):
    A velocidade vertical muda devido à aceleração da gravidade. Ela é dada por:
Agora, a velocidade total da pedra antes do impacto é composta por e . Para encontrar o módulo dessa velocidade:

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte ©: calcular a altura máxima 0 = v0 sin(theta) - g tmáx que a pedra atinge acima do solo.
A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade é zero ( tmáx = v0 sin(theta)g ). Vamos encontrar o tempo hmáx = v0 sin(theta) tmáx - 12 g tmáx^2 á em que isso acontece:
hmáx = v0 sin(theta) (v0 sin(theta)g) - 12 g (v0 sin(theta)g)^2 = (v0 sin(theta))^22g á
Resolvendo para H = h + hmáx = h + (v0 sin(theta))^22g á:
á
Agora, vamos calcular a altura máxima alcançada acima do ponto de lançamento:
ááá
Substituindo á:
á
Então, a altura máxima acima do solo é a soma da altura inicial do rochedo e a altura máxima alcançada pela pedra:
á

Resposta

(a) A altura do rochedo é .
(b) A velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em é .
© A altura máxima alcançada acima do solo é .

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