Um avião está mergulhando com um ângulo
abaixo da horizontal, a uma velocidade de módulo
, quando o piloto libera um chamariz. De que altura foi lançado?
. Na figura abaixo, uma pedra é lançada para o alto de um rochedo de altura
com uma velocidade inicial
e um ângulo
com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, em um tempo
após o lançamento. Determine (a) a altura
do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A e © a altura máxima
alcançada acima do solo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto (uma pedra) que é lançado para cima a partir do topo de um rochedo. A pedra tem uma velocidade inicial de módulo
e é lançada com um ângulo
em relação à horizontal. Depois de um tempo
, a pedra cai em um ponto
. Precisamos resolver três partes:
(a) Determinar a altura
do rochedo.
(b) Encontrar a velocidade da pedra imediatamente antes de ela impactar no ponto
.
© Calcular a altura máxima
que a pedra atinge acima do solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetil, que envolvem decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, além das equações do movimento uniformemente variado para a direção vertical.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): determinar a altura
do rochedo.
Primeiro, vamos analisar o movimento na direção vertical. A posição vertical da pedra em qualquer instante
pode ser descrita pela equação:
Aqui:
-
é a posição vertical da pedra no tempo . -
é a altura inicial do rochedo. -
é a componente vertical da velocidade inicial. -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
No ponto
, a pedra atinge o solo, ou seja,
. Então, podemos igualar a equação a zero e resolver para
:
Isolando
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a velocidade da pedra imediatamente antes de impactar no ponto
.
A velocidade da pedra tem duas componentes: horizontal (
) e vertical (
).
-
Componente Horizontal (
):
A velocidade horizontal permanece constante durante o voo, pois não há aceleração na direção horizontal (desconsiderando a resistência do ar). Então: -
Componente Vertical (
):
A velocidade vertical muda devido à aceleração da gravidade. Ela é dada por:
Agora, a velocidade total
da pedra antes do impacto é composta por
e
. Para encontrar o módulo dessa velocidade:
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte ©: calcular a altura máxima
que a pedra atinge acima do solo.
A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade é zero (
). Vamos encontrar o tempo
em que isso acontece:
Resolvendo para
:
Agora, vamos calcular a altura máxima alcançada acima do ponto de lançamento:
Substituindo
:
Então, a altura máxima acima do solo
é a soma da altura inicial do rochedo
e a altura máxima alcançada pela pedra:
Resposta
(a) A altura do rochedo é
.
(b) A velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em
é
.
© A altura máxima alcançada acima do solo é
.