Considere três vetores dados tais que: a=3 imath+3 jmath-2 k, b=-imath-4 jmath+2 k e c=2 imath+2 jmath+k. Calcule a times(b+c).
41P. Use a definição de produto escalar, a cdot b=a b cos theta e o fato de que a b=ax bx+ay by+az bz, e calcule o ângulo entre os vetores a=3 imath+3 jmath+3 k e b=2 imath+jmath+3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve calcular o produto vetorial a times (b + c). Aqui, estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, e para resolver isso, precisamos entender como somar vetores e como calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores b e c. A soma de dois vetores é feita somando cada uma das suas componentes correspondentes. Então:
b + c = (-imath - 4jmath + 2k) + (2imath + 2jmath + k)

Passo 3

Vamos somar as componentes:
  • Componente de imath: -1 + 2 = 1
  • Componente de jmath: -4 + 2 = -2
  • Componente de k: 2 + 1 = 3
Então:
b + c = 1imath - 2jmath + 3k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times (b + c). O produto vetorial de dois vetores u = uximath + uyjmath + uzk e v = vximath + vyjmath + vzk é dado por:
u times v = imath & jmath & k ux & uy & uz vx & vy & vz

Passo 5

Aplicando isso aos nossos vetores:
a = 3imath + 3jmath - 2k
b + c = 1imath - 2jmath + 3k
Então, o determinante fica:
a times (b + c) = imath & jmath & k 3 & 3 & -2 1 & -2 & 3

Passo 6

Calculando o determinante:
a times (b + c) = imath(3 times 3 - (-2) times (-2)) - jmath(3 times 3 - (-2) times 1) + k(3 times (-2) - 3 times 1)
= imath(9 - 4) - jmath(9 - (-2)) + k(-6 - 3)
= 5imath - 11jmath - 9k

Resposta

a times (b + c) = 5imath - 11jmath - 9k

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