Um barco se aproxima da costa a
. Um menino está no alto de uma falésia com
de altura e lança uma bola de 750 g com velocidade de
. O lançamento é feito de forma que a velocidade inicial da bola forma um ângulo de
acima da horizontal em direção ao barco. Despreze a resistência do ar.
Qual deve ser a distância inicial do centro do barco até a base da falésia para que a bola caia no meio do barco?
Qual deve ser a distância inicial do centro do barco até a base da falésia para que a bola caia no meio do barco?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um menino no alto de uma falésia de 9 metros que lança uma bola em direção a um barco que está se aproximando da costa a 50 metros por segundo. A bola é lançada com uma velocidade de 10 metros por segundo, formando um ângulo de 30 graus acima da horizontal. Queremos descobrir de que distância o barco estava inicialmente do pé da falésia para que a bola caia exatamente no meio do barco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Movimento Projetil e Movimento Relativo. Vamos calcular o tempo que a bola leva para cair e paralelamente ver onde o barco estará nesse tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento vertical da bola para determinar quanto tempo ela leva para atingir o solo. Como a bola é lançada de uma altura de 9 metros, vamos usar a equação do movimento vertical sob aceleração da gravidade.
A equação é:
Onde:
-
é a posição final (0 m, já que a bola cai no chão) -
é a posição inicial (9 m) -
é a componente vertical da velocidade inicial -
é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²) -
é o tempo
Primeiro, vamos encontrar
.
Passo 3
A velocidade inicial da bola é de 10 m/s em um ângulo de 30 graus acima da horizontal. Vamos separar essa velocidade em suas componentes horizontal (
) e vertical (
) usando funções trigonométricas.
Com
e
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na equação do movimento vertical para encontrar o tempo
:
Simplificando:
Reorganizando:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Passo 6
Agora que temos o tempo que a bola leva para cair, vamos calcular a distância horizontal que ela percorre nesse tempo. Usamos a componente horizontal da velocidade
:
Passo 7
Enquanto a bola está no ar, o barco está se aproximando da costa a 50 m/s. Mas 50 m/s é uma velocidade muito alta para um barco real, então provavelmente há um erro na unidade. Se considerarmos que a velocidade é 50 km/h, vamos converter para m/s:
Assumindo que o barco está a 50 m/s, o barco percorreria:
Mas isso não faz muito sentido para a prática. Então, vamos seguir com a velocidade dada de 50 m/s.
Passo 8
Para que a bola atinja o meio do barco, a distância inicial entre o barco e a base da falésia deve compensar a distância que a bola percorre e a aproximação do barco.
Se a bola percorre 16,97 metros enquanto o barco percorre 98 metros, a distância inicial deve ser:
Resposta
A distância inicial do centro do barco até a base da falésia deve ser de aproximadamente 115 metros para que a bola caia no meio do barco.