Um barco se aproxima da costa a 50 m / s. Um menino está no alto de uma falésia com 9,0 m de altura e lança uma bola de 750 g com velocidade de 10 m / s. O lançamento é feito de forma que a velocidade inicial da bola forma um ângulo de 30^circ acima da horizontal em direção ao barco. Despreze a resistência do ar.
Qual deve ser a distância inicial do centro do barco até a base da falésia para que a bola caia no meio do barco?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um menino no alto de uma falésia de 9 metros que lança uma bola em direção a um barco que está se aproximando da costa a 50 metros por segundo. A bola é lançada com uma velocidade de 10 metros por segundo, formando um ângulo de 30 graus acima da horizontal. Queremos descobrir de que distância o barco estava inicialmente do pé da falésia para que a bola caia exatamente no meio do barco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Movimento Projetil e Movimento Relativo. Vamos calcular o tempo que a bola leva para cair e paralelamente ver onde o barco estará nesse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento vertical da bola para determinar quanto tempo ela leva para atingir o solo. Como a bola é lançada de uma altura de 9 metros, vamos usar a equação do movimento vertical sob aceleração da gravidade.
A equação é:
y = y0 + vy0 t - 12 g t^2
Onde:
  • é a posição final (0 m, já que a bola cai no chão)
  • é a posição inicial (9 m)
  • é a componente vertical da velocidade inicial
  • é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²)
  • é o tempo
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 3

A velocidade inicial da bola é de 10 m/s em um ângulo de 30 graus acima da horizontal. Vamos separar essa velocidade em suas componentes horizontal ( vx0 = v0 cos(theta) ) e vertical ( vy0 = v0 sin(theta) ) usando funções trigonométricas.
vx0 = 10 cos(30^circ) = 10 times raiz32 approx 8,66 , m/s
vy0 = 10 sin(30^circ) = 10 times 12 = 5 , m/s
Com e :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na equação do movimento vertical para encontrar o tempo 0 = 9 + 5t - 12 times 9,8 times t^2 :
0 = 9 + 5t - 4,9t^2
Simplificando:
4,9t^2 - 5t - 9 = 0
Reorganizando:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
t = 5 pm raiz(-5)^2 - 4 times 4,9 times (-9)2 times 4,9
t = 5 pm raiz25 + 176,49,8
t = 5 pm raiz201,49,8
t = 5 pm 14,199,8
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t = 5 + 14,199,8 approx 19,199,8 approx 1,96 , segundos

Passo 6

Agora que temos o tempo que a bola leva para cair, vamos calcular a distância horizontal que ela percorre nesse tempo. Usamos a componente horizontal da velocidade x = vx0 t :
x = 8,66 times 1,96 approx 16,97 , metros

Passo 7

Enquanto a bola está no ar, o barco está se aproximando da costa a 50 m/s. Mas 50 m/s é uma velocidade muito alta para um barco real, então provavelmente há um erro na unidade. Se considerarmos que a velocidade é 50 km/h, vamos converter para m/s:
50 , km/h = 50 times 10003600 approx 13,89 , m/s
Assumindo que o barco está a 50 m/s, o barco percorreria:
d = 50 times 1,96 = 98 , metros
Mas isso não faz muito sentido para a prática. Então, vamos seguir com a velocidade dada de 50 m/s.

Passo 8

Para que a bola atinja o meio do barco, a distância inicial entre o barco e a base da falésia deve compensar a distância que a bola percorre e a aproximação do barco.
Se a bola percorre 16,97 metros enquanto o barco percorre 98 metros, a distância inicial deve ser:
D = dbola + dbarco
D = 16,97 + 98 approx 114,97 , metros

Resposta

A distância inicial do centro do barco até a base da falésia deve ser de aproximadamente 115 metros para que a bola caia no meio do barco.

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