De um avião, mergulhando em um ângulo theta0 com a vertical e a uma altura H, é abandonado um objeto que bate no solo após um intervalo de tempo t. Determine, para o objeto, os vetores velocidade (a) ao deixar o avião, (b) ao atingir o solo e © o vetor deslocamento total. Escreva suas respostas em termos das variáveis theta0, H, t e g (aceleração da gravidade) e dos vetores unitários que se fizerem necessários.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um avião que está mergulhando em um ângulo em relação à vertical, a uma altura . De lá, ele solta um objeto que eventualmente bate no chão após um tempo . Nosso trabalho é descobrir três coisas sobre o movimento desse objeto:
  1. Vetores velocidade:
    • (a) No momento em que o objeto é solto.
    • (b) Quando o objeto atinge o chão.
  2. Vetor deslocamento total: A diferença entre a posição final e inicial do objeto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar suas causas. Vamos precisar entender como a velocidade inicial e a aceleração da gravidade ( ) influenciam o movimento do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o vetor velocidade ao deixar o avião. Quando o objeto é solto, ele já possui a velocidade do avião. Como o avião está mergulhando em um ângulo Vx = V sin theta0 Vy = -V cos theta0 com a vertical, precisamos decompor essa velocidade nas direções horizontal ( ) e vertical ( ).
Vamos chamar a velocidade inicial do avião de . Então:
Aqui, é a componente horizontal e é a componente vertical (negativa porque está para baixo).

Passo 3

Agora, vamos considerar a velocidade ao atingir o solo. O movimento vertical é influenciado pela aceleração da gravidade Vyf = Vy + g t , que atua para baixo. A velocidade vertical final pode ser encontrada usando a fórmula:
Vyf = -V cos theta0 + g t
Substituindo Vx = V sin theta0 de antes:
Vf = V sin theta0 , i + (-V cos theta0 + g t) , j
A componente horizontal da velocidade permanece a mesma durante todo o voo (pois não há aceleração horizontal assumindo resistência do ar desprezível):
Então, a velocidade final é:

Passo 4

Para encontrar o vetor deslocamento total, precisamos calcular como o objeto se move nas direções horizontal e vertical durante o tempo Sx = Vx t = V sin theta0 , t .
Deslocamento horizontal ( Sy = Vy t + 12 g t^2 = -V cos theta0 , t + 12 g t^2 ):
S = Sx , i + Sy , j = V sin theta0 , t , i + ( -V cos theta0 , t + 12 g t^2 ) j
Deslocamento vertical ( ):
Então, o vetor deslocamento total é:

Resposta

(a) A velocidade ao deixar o avião é:
Vi = V sin theta0 , i - V cos theta0 , j
(b) A velocidade ao atingir o solo é:
Vf = V sin theta0 , i + ( -V cos theta0 + g t ) j
© O vetor deslocamento total é:
S = V sin theta0 , t , i + ( -V cos theta0 , t + 12 g t^2 ) j

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