Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de módulo v0 a partir do solo. a) Que altura, a partir do solo, atingirá a bola? b) Quanto tempo ficará no ar? c) Em que instante(s) estará a um terço da altura máxima atingida em relação ao solo? d) Esboce o gráfico v times t correspondente ao movimento da bola. Escreva suas respostas apenas em termos dos dados do problema: v0 e g.

Passo 1

Então, temos uma bola que é lançada para cima com uma velocidade inicial de módulo a partir do solo. Vamos resolver questões relacionadas ao movimento vertical dessa bola, usando conceitos de cinemática, como velocidade, aceleração da gravidade ( ), altura máxima, tempo de voo e posições específicas durante o trajeto.

Passo 2

a) Qual a altura máxima que a bola atinge?
Para encontrar a altura máxima, precisamos saber quando a velocidade da bola será zero, ou seja, no ponto mais alto da trajetória.
A fórmula que relaciona a velocidade final ( v^2 = v0^2 + 2 a s ), velocidade inicial ( 0 = v0^2 - 2 g hmax ), aceleração ( hmax = v0^22 g ) e deslocamento ( ) é:
Aqui, no ponto mais alto, , e a aceleração é (porque a gravidade está puxando a bola para baixo. Então:
Resolvendo para :

Passo 3

b) Quanto tempo a bola fica no ar?
Para calcular o tempo total de voo, consideramos o tempo para a bola ir até a altura máxima e o tempo para descer de volta ao solo.
Primeiro, o tempo para alcançar a altura máxima:
v = v0 - g tsubida
No ponto mais alto, 0 = v0 - g tsubida Rightarrow tsubida = v0g :
T = 2 tsubida = 2 v0g
Como o tempo de descida é igual ao de subida, o tempo total no ar ( ) é:

Passo 4

c) Em que instante(s) a bola estará a um terço da altura máxima?
Queremos encontrar o tempo hmax = v0^22 g Rightarrow 13 hmax = v0^26 g quando a altura h(t) = v0 t - 12 g t^2 é v0 t - 12 g t^2 = v0^26 g .
Sabemos que:
6 g v0 t - 3 g^2 t^2 = v0^2
A equação da posição em função do tempo é:
3 g^2 t^2 - 6 g v0 t + v0^2 = 0
Igualando a 3 t^2 - 6 v0g t + v0^2g^2 = 0 :
t = 6 v0g pm raiz36 v0^2g^2 - 12 v0^2g^26
Multiplicando todos os termos por t = 6 v0g pm raiz24 v0^2g^26 = 6 v0g pm 2 raiz6 v0g6 = v0g (1 pm raiz63) para eliminar denominadores:
t = v0g (1 + raiz63) e t = v0g (1 - raiz63)
Reorganizando:
Dividindo por :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Portanto, os instantes são:

Passo 5

d) Esboce o gráfico correspondente ao movimento da bola.
No gráfico de velocidade ( ) versus tempo ( ) para um movimento vertical com aceleração constante ( ):
  • A velocidade inicial é para cima.
  • A velocidade diminui linearmente com a inclinação de .
  • No ponto mais alto, a velocidade é .
  • Depois, a velocidade passa a ser negativa, aumentando em módulo até retornar ao solo.
Portanto, o gráfico é uma linha reta decrescente que intercepta o eixo em e o eixo no ponto .

Resposta

a) A altura máxima é .
b) O tempo total no ar é .
c) Os instantes são e .
d) O gráfico é uma linha reta decrescente que começa em quando , intercepta no ponto mais alto, e continua para valores negativos até .

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