Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de módulo a partir do solo. a) Que altura, a partir do solo, atingirá a bola? b) Quanto tempo ficará no ar? c) Em que instante(s) estará a um terço da altura máxima atingida em relação ao solo? d) Esboce o gráfico correspondente ao movimento da bola. Escreva suas respostas apenas em termos dos dados do problema: e .

Passo 1

Então, temos uma bola que é lançada para cima com uma velocidade inicial de módulo a partir do solo. Vamos resolver questões relacionadas ao movimento vertical dessa bola, usando conceitos de cinemática, como velocidade, aceleração da gravidade ( ), altura máxima, tempo de voo e posições específicas durante o trajeto.

Passo 2

a) Qual a altura máxima que a bola atinge?
Para encontrar a altura máxima, precisamos saber quando a velocidade da bola será zero, ou seja, no ponto mais alto da trajetória.
A fórmula que relaciona a velocidade final ( ), velocidade inicial ( ), aceleração ( ) e deslocamento ( ) é:
Aqui, no ponto mais alto, , e a aceleração é (porque a gravidade está puxando a bola para baixo. Então:
Resolvendo para :

Passo 3

b) Quanto tempo a bola fica no ar?
Para calcular o tempo total de voo, consideramos o tempo para a bola ir até a altura máxima e o tempo para descer de volta ao solo.
Primeiro, o tempo para alcançar a altura máxima:
No ponto mais alto, :
Como o tempo de descida é igual ao de subida, o tempo total no ar ( ) é:

Passo 4

c) Em que instante(s) a bola estará a um terço da altura máxima?
Queremos encontrar o tempo quando a altura é .
Sabemos que:
A equação da posição em função do tempo é:
Igualando a :
Multiplicando todos os termos por para eliminar denominadores:
Reorganizando:
Dividindo por :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Portanto, os instantes são:

Passo 5

d) Esboce o gráfico correspondente ao movimento da bola.
No gráfico de velocidade ( ) versus tempo ( ) para um movimento vertical com aceleração constante ( ):
  • A velocidade inicial é para cima.
  • A velocidade diminui linearmente com a inclinação de .
  • No ponto mais alto, a velocidade é .
  • Depois, a velocidade passa a ser negativa, aumentando em módulo até retornar ao solo.
Portanto, o gráfico é uma linha reta decrescente que intercepta o eixo em e o eixo no ponto .

Resposta

a) A altura máxima é .
b) O tempo total no ar é .
c) Os instantes são e .
d) O gráfico é uma linha reta decrescente que começa em quando , intercepta no ponto mais alto, e continua para valores negativos até .

Exercícios relacionados

Uma bola é lançada com velocidade . Determine (a) o alcance da bola e (b) a velocidade com que a bola atingirá o solo, em termos dos vetores unitários e .
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