Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de módulo
a partir do solo. a) Que altura, a partir do solo, atingirá a bola? b) Quanto tempo ficará no ar? c) Em que instante(s) estará a um terço da altura máxima atingida em relação ao solo? d) Esboce o gráfico
correspondente ao movimento da bola. Escreva suas respostas apenas em termos dos dados do problema:
e
.
Passo 1
Então, temos uma bola que é lançada para cima com uma velocidade inicial de módulo
a partir do solo. Vamos resolver questões relacionadas ao movimento vertical dessa bola, usando conceitos de cinemática, como velocidade, aceleração da gravidade (
), altura máxima, tempo de voo e posições específicas durante o trajeto.
Passo 2
a) Qual a altura máxima que a bola atinge?
Para encontrar a altura máxima, precisamos saber quando a velocidade da bola será zero, ou seja, no ponto mais alto da trajetória.
A fórmula que relaciona a velocidade final (
), velocidade inicial (
), aceleração (
) e deslocamento (
) é:
Aqui, no ponto mais alto,
, e a aceleração é
(porque a gravidade está puxando a bola para baixo. Então:
Resolvendo para
:
Passo 3
b) Quanto tempo a bola fica no ar?
Para calcular o tempo total de voo, consideramos o tempo para a bola ir até a altura máxima e o tempo para descer de volta ao solo.
Primeiro, o tempo para alcançar a altura máxima:
No ponto mais alto,
:
Como o tempo de descida é igual ao de subida, o tempo total no ar (
) é:
Passo 4
c) Em que instante(s) a bola estará a um terço da altura máxima?
Queremos encontrar o tempo
quando a altura
é
.
Sabemos que:
A equação da posição em função do tempo é:
Igualando a
:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar denominadores:
Reorganizando:
Dividindo por
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Portanto, os instantes são:
Passo 5
d) Esboce o gráfico
correspondente ao movimento da bola.
No gráfico de velocidade (
) versus tempo (
) para um movimento vertical com aceleração constante (
):
- A velocidade inicial é
para cima. - A velocidade diminui linearmente com a inclinação de
. - No ponto mais alto, a velocidade é
. - Depois, a velocidade passa a ser negativa, aumentando em módulo até retornar ao solo.
Portanto, o gráfico é uma linha reta decrescente que intercepta o eixo
em
e o eixo
no ponto
.
Resposta
a) A altura máxima é
.
b) O tempo total no ar é
.
c) Os instantes são
e
.
d) O gráfico
é uma linha reta decrescente que começa em
quando
, intercepta
no ponto mais alto, e continua para valores negativos até
.
Exercícios relacionados
Uma bola é lançada com velocidade
. Determine (a) o alcance da bola e (b) a velocidade com que a bola atingirá o solo, em termos dos vetores unitários
e
.
Para um projétil lançado da origem de um sistema de referência com velocidade
, fazendo um ângulo
acima da horizontal, determine: (a) O tempo necessário para atingir novamente o solo, que se encontra na mesma coordenada vertical da origem. (b) O tempo necessário para atingir a altura máxima e o vetor posição neste instante. © O alcance do projétil. (d) A equação da posição vertical em função da posição horizontal,
.
De um avião, mergulhando em um ângulo
com a vertical e a uma altura
, é abandonado um objeto que bate no solo após um intervalo de tempo
. Determine, para o objeto, os vetores velocidade (a) ao deixar o avião, (b) ao atingir o solo e © o vetor deslocamento total. Escreva suas respostas em termos das variáveis
e
(aceleração da gravidade) e dos vetores unitários que se fizerem necessários.
Uma partícula move-se no plano
com aceleração constante
e, no instante
, passa pela origem do sistema de coordenadas com velocidade
. A velocidade e a aceleração estão em unidades do SI. (a) Determine, em função dos vetores unitários, os vetores posição
e velocidade
no instante posterior quando a partícula cruzará a coordenada
. Supor, neste item,
. (b) Faça um diagrama e esboce, além dos dados iniciais do problema, a trajetória da partícula.