Uma bola é lançada com velocidade v0=v0 x i+v0 y j= (2 i+4 j) m / s. Determine (a) o alcance da bola e (b) a velocidade com que a bola atingirá o solo, em termos dos vetores unitários (i e j).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis. A gente tem uma bola lançada com uma certa velocidade inicial, e queremos descobrir duas coisas: (a) o alcance da bola, ou seja, até onde ela vai; e (b) a velocidade com que a bola vai bater no chão. Para isso, vamos usar conceitos de Física sobre movimento em duas dimensões, dividindo a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da velocidade inicial. A velocidade inicial da bola é dada por:
v0 = 2,i + 4,j, m/s
Aqui, é a componente horizontal ( ) e é a componente vertical ( ).

Passo 3

Para encontrar o tempo total de voo da bola, vamos analisar o movimento vertical. Sabemos que a única aceleração atuando na vertical é a aceleração da gravidade ( t = 2 v0yg = 2 times 49,8 approx 0,816,s ²), que puxa a bola para baixo. O tempo que a bola leva para subir e depois descer de volta ao ponto de lançamento é dado por:

Passo 4

Agora que temos o tempo total de voo, podemos calcular o alcance horizontal da bola. Como não há aceleração na direção horizontal, a velocidade horizontal permanece constante. O alcance ( R = v0x times t = 2,m/s times 0,816,s approx 1,632,m ) é então:

Passo 5

Para determinar a velocidade com que a bola atinge o solo, precisamos encontrar a componente vertical da velocidade no momento do impacto. Usando a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
vy = v0y - g times t = 4,m/s - 9,8,m/s² times 0,816,s approx -4,m/s ²
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.

Passo 6

Com a componente horizontal constante e a componente vertical encontrada, a velocidade final da bola é:
v = 2,i - 4,j, m/s

Resposta

(a) O alcance da bola é aproximadamente 1,632 metros.
(b) A velocidade com que a bola atinge o solo é .

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