Uma partícula move-se no plano x y com aceleração constante a=alpha(i)+beta(-j) e, no instante t=0 s, passa pela origem do sistema de coordenadas com velocidade v0=gamma(j). A velocidade e a aceleração estão em unidades do SI. (a) Determine, em função dos vetores unitários, os vetores posição (r) e velocidade (v) no instante posterior quando a partícula cruzará a coordenada y=0. Supor, neste item, beta=2 alpha. (b) Faça um diagrama e esboce, além dos dados iniciais do problema, a trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no plano com uma aceleração constante . No instante inicial , ela está na origem com velocidade . O conteúdo aqui envolve Cinemática de movimentos com aceleração constante e vetores. Para resolver, vamos precisar das equações de movimento com aceleração constante e trabalhar com componentes vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de movimento para posição e velocidade com aceleração constante. A posição r(t) = r0 + v0 t + 12 a t^2 é dada por:
v(t) = v0 + a t
E a velocidade é:
Aqui, é a posição inicial, que é a origem, então .

Passo 3

Vamos escrever as componentes das equações de movimento. Para a posição:
x(t) = x0 + v0x t + 12 ax t^2
y(t) = y0 + v0y t + 12 ay t^2
E para a velocidade:
vx(t) = v0x + ax t
vy(t) = v0y + ay t
Sabemos que na origem, e . A velocidade inicial , então e . A aceleração , então e .

Passo 4

Vamos substituir esses valores nas equações de posição e velocidade:
x(t) = 0 + 0 cdot t + 12 alpha t^2 = 12 alpha t^2
y(t) = 0 + gamma t + 12 (-beta) t^2 = gamma t - 12 beta t^2
E para a velocidade:
vx(t) = 0 + alpha t = alpha t
vy(t) = gamma + (-beta) t = gamma - beta t

Passo 5

Queremos encontrar o instante 0 = gamma t - 12 beta t^2 em que a partícula cruza a coordenada gamma t = 12 beta t^2 . Isso significa que gamma = 12 beta t . Vamos usar a equação de t = 2gammabeta :
Vamos resolver para :

Passo 6

Agora, sabemos que t = 2gamma2alpha = gammaalpha . Vamos substituir isso na expressão de :

Passo 7

Com o tempo x(gammaalpha) = 12 alpha (gammaalpha)^2 = 12 alpha cdot gamma^2alpha^2 = gamma^22alpha , vamos encontrar os vetores posição y(gammaalpha) = gamma cdot gammaalpha - 12 beta (gammaalpha)^2 = gamma^2alpha - 12 cdot 2alpha cdot gamma^2alpha^2 = 0 e velocidade r = ( gamma^22alpha ) i + 0 j neste instante.
Primeiro, a posição :
Então, a posição é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a velocidade vx(gammaalpha) = alpha cdot gammaalpha = gamma no instante vy(gammaalpha) = gamma - beta cdot gammaalpha = gamma - 2alpha cdot gammaalpha = gamma - 2gamma = -gamma :
v = gamma i - gamma j
Então, a velocidade é:

Resposta

No instante em que a partícula cruza r = ( gamma^22alpha ) i , os vetores posição e velocidade são:
v = gamma i - gamma j

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