Um avião parte do ponto A orientado para um aeroporto a 520 km ao norte, no ponto B. A velocidade do avião com relação ao ar é 240 km / h e, o vento sopra com velocidade constante de 50 km / h no sentido noroeste-sudeste. Determine a orientação apropriada para o avião e o tempo de vôo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um avião que precisa voar do ponto A até o ponto B, que está 520 km ao norte. A velocidade do avião em relação ao ar é de e há um vento soprando a na direção noroeste-sudeste. Nosso objetivo é descobrir em que direção o avião deve apontar (orientação apropriada) e quanto tempo levará para fazer esse voo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, especialmente a soma de vetores, já que a velocidade do avião e a do vento vão se combinar para determinar o caminho real do avião.

Passo 2

Vamos representar as velocidades como vetores. Primeiro, a velocidade do avião em relação ao ar ( ) tem magnitude de e precisamos determinar sua direção. A velocidade do vento ( ) é de na direção noroeste-sudeste.
Para facilitar, vamos assumir que “noroeste-sudeste” significa que o vento está soprando em um ângulo de a leste do norte, ou seja, na diagonal entre o norte e o leste.

Passo 3

A direção que o avião deve apontar, ou seja, a direção que ele deve seguir em relação ao ar, deve compensar o efeito do vento para que o avião realmente vá diretamente para o norte, ao ponto B. Isso significa que a soma vetorial da velocidade do avião e do vento deve resultar em um vetor que aponta exatamente para o norte com uma magnitude suficiente para cobrir os 520 km.
Vamos chamar a direção que o avião deve apontar de .

Passo 4

Vamos decompor os vetores nas direções leste e norte para facilitar os cálculos.
Para o vento:
Vwnorte = 50 cos(45^circ) = 50 times raiz22 approx 35,36 , km/h
Vw<=ste = 50 sin(45^circ) = 50 times raiz22 approx 35,36 , km/h
Como o vento está soprando noroeste-sudeste, a componente leste é contrária à direção que o avião precisa seguir, então vamos considerar isso no próximo passo.

Passo 5

Para que o avião siga exatamente para o norte, a componente leste da velocidade do avião deve cancelar a componente leste do vento. Então:
Va<=ste = Vw<=ste approx 35,36 , km/h
Agora, vamos encontrar a componente norte da velocidade do avião:
Vanorte = raizVa^2 - Va<=ste^2 = raiz240^2 - 35,36^2 approx raiz57600 - 1250 approx raiz56350 approx 237,2 , km/h

Passo 6

Agora que temos a componente norte da velocidade do avião, podemos calcular o tempo de voo necessário para percorrer os 520 km:
Tempo = DistânciaVelocidade = 520 , km237,2 , km/h approx 2,19 , horas approx 2 , horas e 11 minutos â

Resposta

O avião deve orientar-se aproximadamente a leste do norte e o tempo de voo será de cerca de 2 horas e 11 minutos.

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