Uma partícula possui um vetor posição dado por r(t)=30 t imath+(40 t-5 t^2) jmath, onde r é expresso em metros e t em segundos. a) Determine os vetores posição da partícula para os instantes de tempo t=1 s e t=5 s. b) Determine o vetor velocidade média da partícula entre os instantes de tempo t=1 s e t=5 s. c) Determine os vetores velocidade instantânea da partícula nos instantes de tempo t=1 s e t=5 s. d) Determine o vetor aceleração média entre os instantes de tempo t=1 s e t=5 s. e) Determine os vetores aceleração instantânea nos instantes t=1 s e t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. A gente vai trabalhar com vetores posição, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular esses vetores utilizando a equação de posição fornecida.

Passo 2

Parte a) Vamos determinar os vetores posição da partícula nos instantes de tempo r(t) = 30t,imath + (40t - 5t^2)jmath s e r(1) = 30(1),imath + (40(1) - 5(1)^2)jmath = 30,imath + (40 - 5)jmath = 30,imath + 35,jmath m s.
A equação do vetor posição é:
r(5) = 30(5),imath + (40(5) - 5(5)^2)jmath = 150,imath + (200 - 125)jmath = 150,imath + 75,jmath m
Para encontrar e , substituímos por 1 e 5, respectivamente.
Para s:
Para s:

Passo 3

Parte b) Agora, vamos encontrar o vetor velocidade média da partícula entre vm = r(t2) - r(t1)t2 - t1 s e vm = (150,imath + 75,jmath) - (30,imath + 35,jmath)5 - 1 = 120,imath + 40,jmath4 = 30,imath + 10,jmath m/s s.
A velocidade média ( ) é dada por:
Onde s e s.
Já calculamos m e m.
Substituindo:

Passo 4

Parte c) Vamos determinar os vetores velocidade instantânea da partícula nos instantes v(t) = dr(t)dt s e v(t) = 30,imath + (40 - 10t),jmath s.
A velocidade instantânea ( v(1) = 30,imath + (40 - 10(1)),jmath = 30,imath + 30,jmath m/s ) é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
v(5) = 30,imath + (40 - 10(5)),jmath = 30,imath + (-10),jmath m/s
Derivando cada componente:
Agora, substituindo os valores de :
Para s:
Para s:

Passo 5

Parte d) Vamos agora calcular o vetor aceleração média entre am = v(t2) - v(t1)t2 - t1 s e v(1) = 30,imath + 30,jmath m/s s.
A aceleração média ( v(5) = 30,imath - 10,jmath m/s ) é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
am = (30,imath - 10,jmath) - (30,imath + 30,jmath)5 - 1 = 0,imath - 40,jmath4 = -10,jmath m/s^2
Já encontramos as velocidades instantâneas:
Substituindo:

Passo 6

Parte e) Por fim, vamos determinar os vetores aceleração instantânea nos instantes a(t) = dv(t)dt = d^2r(t)dt^2 s e v(t) = 30,imath + (40 - 10t),jmath s.
A aceleração instantânea ( a(t) = ddt(30,imath + (40 - 10t),jmath) = 0,imath -10,jmath m/s^2 ) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada do vetor posição:
a(t) = -10,jmath m/s^2
Derivando a velocidade:
a(1) = a(5) = -10,jmath m/s^2
Observamos que a aceleração é constante e igual a:
Então, para s e s, a aceleração instantânea é a mesma:

Resposta

a) Para s:
Para s:
b) A velocidade média é
c) A velocidade instantânea em s é
Em s é
d) A aceleração média é
e) A aceleração instantânea é

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