Uma partícula possui um vetor posição dado por
, onde
é expresso em metros e
em segundos. a) Determine os vetores posição da partícula para os instantes de tempo
e
. b) Determine o vetor velocidade média da partícula entre os instantes de tempo
e
. c) Determine os vetores velocidade instantânea da partícula nos instantes de tempo
e
. d) Determine o vetor aceleração média entre os instantes de tempo
e
. e) Determine os vetores aceleração instantânea nos instantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. A gente vai trabalhar com vetores posição, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular esses vetores utilizando a equação de posição fornecida.
Passo 2
Parte a) Vamos determinar os vetores posição da partícula nos instantes de tempo
s e
s.
A equação do vetor posição é:
Para encontrar
e
, substituímos
por 1 e 5, respectivamente.
Para
s:
Para
s:
Passo 3
Parte b) Agora, vamos encontrar o vetor velocidade média da partícula entre
s e
s.
A velocidade média (
) é dada por:
Onde
s e
s.
Já calculamos
m e
m.
Substituindo:
Passo 4
Parte c) Vamos determinar os vetores velocidade instantânea da partícula nos instantes
s e
s.
A velocidade instantânea (
) é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Agora, substituindo os valores de
:
Para
s:
Para
s:
Passo 5
Parte d) Vamos agora calcular o vetor aceleração média entre
s e
s.
A aceleração média (
) é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
Já encontramos as velocidades instantâneas:
Substituindo:
Passo 6
Parte e) Por fim, vamos determinar os vetores aceleração instantânea nos instantes
s e
s.
A aceleração instantânea (
) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada do vetor posição:
Derivando a velocidade:
Observamos que a aceleração é constante e igual a:
Então, para
s e
s, a aceleração instantânea é a mesma:
Resposta
a) Para
s:
Para s:
Para
b) A velocidade média é
c) A velocidade instantânea em
s é
Em s é
Em
d) A aceleração média é
e) A aceleração instantânea é