Considere dois vetores e .
(a) Escreva como se lê a seguinte operação: . Que tipo de quantidade você espera obter como resultado desta operação?
(b) Faça passo a passo a operação apresentada no item (a).
© Escreva como se lê a seguinte operação . Que tipo de quantidade você espera obter como resultado desta operação?
(d) Faça passo a passo a operação apresentada no item ©.
(e) Se cada componente dos vetores e possuem unidade de distância, qual unidade possuirá a quantidade obtida nos itens (b) e (d)?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente produto vetorial (cruz) e produto escalar (ponto). Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular esses produtos e interpretar os resultados.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A operação se lê “produto vetorial de a por b” ou “a cruz b”. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Agora, na parte (b), vamos calcular passo a passo. O produto vetorial é calculado usando o determinante da matriz formada pelos vetores unitários , , e pelas componentes dos vetores e .

Passo 4

Montamos a matriz para o determinante:

Passo 5

Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:

Passo 6

Calculamos cada determinante 2x2:

Passo 7

Substituímos de volta na expressão:

Passo 8

Passando para a parte ©, a operação se lê “produto escalar de a por b” ou “a ponto b”. O produto escalar resulta em um número que representa a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro.

Passo 9

Na parte (d), vamos calcular passo a passo. O produto escalar é a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.

Passo 10

Calculamos cada termo:

Passo 11

Somamos os resultados:

Passo 12

Finalmente, na parte (e), se cada componente dos vetores tem unidade de distância (por exemplo, metros), então:
  • O produto vetorial , que é um vetor, terá unidade de área (por exemplo, metros quadrados).
  • O produto escalar , que é um número, terá unidade de distância ao quadrado (por exemplo, metros quadrados).

Resposta

(a) A operação se lê “produto vetorial de a por b” e resulta em um vetor perpendicular aos vetores e .
(b) O produto vetorial é igual a .
© A operação se lê “produto escalar de a por b” e resulta em um número que representa a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro.
(d) O produto escalar é igual a .
(e) A quantidade obtida no item (b) possui unidade de área (por exemplo, metros quadrados) e no item (d) possui unidade de distância ao quadrado (por exemplo, metros quadrados).

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