Considere dois vetores
e
.
(a) Escreva como se lê a seguinte operação:
. Que tipo de quantidade você espera obter como resultado desta operação?
(b) Faça passo a passo a operação apresentada no item (a).
© Escreva como se lê a seguinte operação
. Que tipo de quantidade você espera obter como resultado desta operação?
(d) Faça passo a passo a operação apresentada no item ©.
(e) Se cada componente dos vetores
e
possuem unidade de distância, qual unidade possuirá a quantidade obtida nos itens (b) e (d)?
(a) Escreva como se lê a seguinte operação:
(b) Faça passo a passo a operação apresentada no item (a).
© Escreva como se lê a seguinte operação
(d) Faça passo a passo a operação apresentada no item ©.
(e) Se cada componente dos vetores
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente produto vetorial (cruz) e produto escalar (ponto). Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular esses produtos e interpretar os resultados.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A operação
se lê “produto vetorial de a por b” ou “a cruz b”. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 3
Agora, na parte (b), vamos calcular
passo a passo. O produto vetorial é calculado usando o determinante da matriz formada pelos vetores unitários
,
,
e pelas componentes dos vetores
e
.
Passo 4
Montamos a matriz para o determinante:
Passo 5
Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:
Passo 6
Calculamos cada determinante 2x2:
Passo 7
Substituímos de volta na expressão:
Passo 8
Passando para a parte ©, a operação
se lê “produto escalar de a por b” ou “a ponto b”. O produto escalar resulta em um número que representa a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro.
Passo 9
Na parte (d), vamos calcular
passo a passo. O produto escalar é a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.
Passo 10
Calculamos cada termo:
Passo 11
Somamos os resultados:
Passo 12
Finalmente, na parte (e), se cada componente dos vetores tem unidade de distância (por exemplo, metros), então:
- O produto vetorial
, que é um vetor, terá unidade de área (por exemplo, metros quadrados). - O produto escalar
, que é um número, terá unidade de distância ao quadrado (por exemplo, metros quadrados).
Resposta
(a) A operação
se lê “produto vetorial de a por b” e resulta em um vetor perpendicular aos vetores
e
.
(b) O produto vetorial
é igual a
.
© A operação
se lê “produto escalar de a por b” e resulta em um número que representa a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro.
(d) O produto escalar
é igual a
.
(e) A quantidade obtida no item (b) possui unidade de área (por exemplo, metros quadrados) e no item (d) possui unidade de distância ao quadrado (por exemplo, metros quadrados).
Exercícios relacionados
Uma partícula possui um vetor posição dado por
, onde
é expresso em metros e
em segundos. a) Determine os vetores posição da partícula para os instantes de tempo
e
. b) Determine o vetor velocidade média da partícula entre os instantes de tempo
e
. c) Determine os vetores velocidade instantânea da partícula nos instantes de tempo
e
. d) Determine o vetor aceleração média entre os instantes de tempo
e
. e) Determine os vetores aceleração instantânea nos instantes
e
.
Determine as componentes retangulares dos seguintes vetores
que se apoiam no plano
e fazem um ângulo
com o eixo
(Figura 6) se (a)
e
, (b)
e
, ©
e
, (d)
e
, (e)
e
, (f)
e
e (g)
e
.
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(na superfície da Terra). A distância entre o centro Terra e o centro do Sol é de
e, o raio da Terra é
. Caso necessário, utilize os valores da tabela de dados físicos fornecida no livro.