Considere dois vetores a=3 imath-5 jmath+k e b=-imath-4 jmath-k.
(a) Escreva como se lê a seguinte operação: a times b. Que tipo de quantidade você espera obter como resultado desta operação?
(b) Faça passo a passo a operação apresentada no item (a).
© Escreva como se lê a seguinte operação a cdot b. Que tipo de quantidade você espera obter como resultado desta operação?
(d) Faça passo a passo a operação apresentada no item ©.
(e) Se cada componente dos vetores a e b possuem unidade de distância, qual unidade possuirá a quantidade obtida nos itens (b) e (d)?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
a = 3 imath - 5 jmath + k e b = -imath - 4 jmath - k
A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente produto vetorial (cruz) e produto escalar (ponto). Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular esses produtos e interpretar os resultados.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A operação a times b se lê “produto vetorial de a por b” ou “a cruz b”. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Agora, na parte (b), vamos calcular a times b passo a passo. O produto vetorial é calculado usando o determinante da matriz formada pelos vetores unitários imath, jmath, k e pelas componentes dos vetores a e b.

Passo 4

Montamos a matriz para o determinante:
a times b = imath & jmath & k 3 & -5 & 1 -1 & -4 & -1

Passo 5

Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:
a times b = imath cdot -5 & 1 -4 & -1 - jmath cdot 3 & 1 -1 & -1 + k cdot 3 & -5 -1 & -4

Passo 6

Calculamos cada determinante 2x2:
-5 & 1 -4 & -1 = (-5)(-1) - (1)(-4) = 5 + 4 = 9
3 & 1 -1 & -1 = (3)(-1) - (1)(-1) = -3 + 1 = -2
3 & -5 -1 & -4 = (3)(-4) - (-5)(-1) = -12 -5 = -17

Passo 7

Substituímos de volta na expressão:
a times b = imath cdot 9 - jmath cdot (-2) + k cdot (-17)
a times b = 9imath + 2jmath - 17k

Passo 8

Passando para a parte ©, a operação a cdot b se lê “produto escalar de a por b” ou “a ponto b”. O produto escalar resulta em um número que representa a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro.

Passo 9

Na parte (d), vamos calcular a cdot b passo a passo. O produto escalar é a soma das multiplicações das componentes correspondentes dos vetores.
a cdot b = (3)(-1) + (-5)(-4) + (1)(-1)

Passo 10

Calculamos cada termo:
(3)(-1) = -3
(-5)(-4) = 20
(1)(-1) = -1

Passo 11

Somamos os resultados:
a cdot b = -3 + 20 -1 = 16

Passo 12

Finalmente, na parte (e), se cada componente dos vetores tem unidade de distância (por exemplo, metros), então:
  • O produto vetorial a times b, que é um vetor, terá unidade de área (por exemplo, metros quadrados).
  • O produto escalar a cdot b, que é um número, terá unidade de distância ao quadrado (por exemplo, metros quadrados).

Resposta

(a) A operação a times b se lê “produto vetorial de a por b” e resulta em um vetor perpendicular aos vetores a e b.
(b) O produto vetorial a times b é igual a 9imath + 2jmath - 17k.
© A operação a cdot b se lê “produto escalar de a por b” e resulta em um número que representa a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro.
(d) O produto escalar a cdot b é igual a 16.
(e) A quantidade obtida no item (b) possui unidade de área (por exemplo, metros quadrados) e no item (d) possui unidade de distância ao quadrado (por exemplo, metros quadrados).

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