Um avião voa com uma velocidade de 250 km / h em relação ao ar. O vento sopra a 80 km / h na direção nordeste e exatamente 45^circ a nordeste. (a) Em que direção o avião deve ser orientado de forma a voar para o Norte? (b) Qual é a velocidade do avião em relação ao solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um avião que tem uma certa velocidade em relação ao ar e o vento está soprando em uma direção específica. A gente vai usar conceitos de vetores para resolver isso. Precisamos entender como a velocidade do avião e a do vento se combinam para determinar a direção que o avião deve seguir para voar exatamente para o norte e também descobrir a velocidade resultante em relação ao solo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar os vetores. O avião tem uma velocidade de Va = 250 km/h em relação ao ar, e o vento tem uma velocidade de Vw = 80 km/h na direção nordeste, que é a 45^circ a nordeste.

Passo 3

Queremos que a trajetória resultante do avião seja exatamente para o norte. Isso significa que o vetor velocidade do avião em relação ao ar deve compensar a influência do vento para que a soma dos vetores resulte em uma direção norte. Vamos decompor os vetores em componentes x (leste) e y (norte).
A componente leste do vento é: Vwx = Vw cdot cos(45^circ) = 80 cdot raiz22 approx 56.57 km/h
A componente norte do vento é: Vwy = Vw cdot sin(45^circ) = 80 cdot raiz22 approx 56.57 km/h
Para que a trajetória total seja para o norte, a componente leste do avião precisa ser igual e oposta à do vento, ou seja:
Vax + Vwx = 0 Rightarrow Vax = -56.57 km/h

Passo 4

Agora, vamos encontrar a direção que o avião deve apontar. A componente norte da velocidade do avião é:
Vay = raizVa^2 - Vax^2 = raiz250^2 - 56.57^2 approx raiz62500 - 3200 approx raiz59300 approx 243.48 km/h
A direção que o avião deve apontar é o ângulo theta em relação ao norte, dado por:
theta = arctan(|Vax|Vay) = arctan(56.57243.48) approx 13^circ a oeste do norte.

Resposta

(a) O avião deve orientar-se aproximadamente 13^circ a oeste do norte para voar exatamente para o norte.
(b) A velocidade do avião em relação ao solo é de aproximadamente 243.48 km/h.

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