Um avião segue uma rota a uma altitude de 6 km que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Sabendo que a distância
, do avião ao radar, decresce a uma taxa de
, quando
, qual a velocidade do avião?
Passo 1
Vamos lá! Você tem um avião voando a uma altitude de 6 km e passando exatamente sobre uma estação de radar. A distância
entre o avião e o radar está diminuindo a uma taxa de
quando
. Vamos descobrir qual é a velocidade do avião. Para resolver isso, vamos precisar usar geometria (especificamente o teorema de Pitágoras) e cálculo (derivadas relacionadas).
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A altura é a altitude do avião, que é 6 km.
- A distância
é a hipotenusa, que está mudando com o tempo. - A base do triângulo é a distância horizontal entre o radar e o ponto diretamente abaixo do avião no chão.
Passo 3
Aplicando o teorema de Pitágoras:
Onde
é a distância horizontal. Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo
para relacionar as taxas de variação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Queremos encontrar
, que é a velocidade horizontal do avião. Reorganizando a equação:
Passo 6
Quando
, vamos encontrar
usando a equação do passo 3:
Passo 7
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação do passo 5:
Aqui, usamos
porque a distância está diminuindo.
Passo 8
Calculando:
O sinal negativo indica que a distância horizontal está diminuindo, mas a velocidade do avião é de
.
Resposta
A velocidade do avião é de
.