Um avião segue uma rota a uma altitude de 6 km que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Sabendo que a distância , do avião ao radar, decresce a uma taxa de , quando , qual a velocidade do avião?
Passo 1
Vamos lá! Você tem um avião voando a uma altitude de 6 km e passando exatamente sobre uma estação de radar. A distância entre o avião e o radar está diminuindo a uma taxa de quando . Vamos descobrir qual é a velocidade do avião. Para resolver isso, vamos precisar usar geometria (especificamente o teorema de Pitágoras) e cálculo (derivadas relacionadas).
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
A altura é a altitude do avião, que é 6 km.
A distância é a hipotenusa, que está mudando com o tempo.
A base do triângulo é a distância horizontal entre o radar e o ponto diretamente abaixo do avião no chão.
Passo 3
Aplicando o teorema de Pitágoras:
Onde é a distância horizontal. Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Queremos encontrar , que é a velocidade horizontal do avião. Reorganizando a equação:
Passo 6
Quando , vamos encontrar usando a equação do passo 3:
Passo 7
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação do passo 5:
Aqui, usamos porque a distância está diminuindo.
Passo 8
Calculando:
O sinal negativo indica que a distância horizontal está diminuindo, mas a velocidade do avião é de .