Um avião segue uma rota a uma altitude de 6 km que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Sabendo que a distância , do avião ao radar, decresce a uma taxa de , quando , qual a velocidade do avião?

Passo 1

Vamos lá! Você tem um avião voando a uma altitude de 6 km e passando exatamente sobre uma estação de radar. A distância entre o avião e o radar está diminuindo a uma taxa de quando . Vamos descobrir qual é a velocidade do avião. Para resolver isso, vamos precisar usar geometria (especificamente o teorema de Pitágoras) e cálculo (derivadas relacionadas).

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A altura é a altitude do avião, que é 6 km.
  • A distância é a hipotenusa, que está mudando com o tempo.
  • A base do triângulo é a distância horizontal entre o radar e o ponto diretamente abaixo do avião no chão.

Passo 3

Aplicando o teorema de Pitágoras:
Onde é a distância horizontal. Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Queremos encontrar , que é a velocidade horizontal do avião. Reorganizando a equação:

Passo 6

Quando , vamos encontrar usando a equação do passo 3:

Passo 7

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação do passo 5:
Aqui, usamos porque a distância está diminuindo.

Passo 8

Calculando:
O sinal negativo indica que a distância horizontal está diminuindo, mas a velocidade do avião é de .

Resposta

A velocidade do avião é de .

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Determine: