Seja a função
Determine: Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . O conteúdo aqui envolve funções lineares, quadráticas e racionais. Para esboçar o gráfico da função , vamos precisar analisar cada parte separadamente e depois juntar tudo. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: quando . Essa é uma função linear, que é basicamente uma reta. A inclinação é 2 e o intercepto em é -1. Para desenhar essa reta, podemos calcular alguns pontos. Por exemplo:
  • Quando :
  • Quando :
Assim, temos dois pontos: e . Com esses pontos, podemos desenhar a reta para .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: quando . Essa é uma função quadrática, que forma uma parábola. A parábola abre para cima porque o coeficiente de é positivo. Vamos calcular alguns pontos:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Mas como , não incluímos o ponto . Com esses pontos, desenhamos a parte da parábola entre e .

Passo 4

A última parte da função é quando . Essa é uma função racional, que tem uma assíntota vertical em (mas como , não precisamos nos preocupar com ). Vamos calcular alguns pontos:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Com esses pontos, podemos desenhar a curva da função racional para , aproximando-se da assíntota horizontal em conforme aumenta.

Passo 5

Agora que temos todas as partes desenhadas:
  1. A reta para .
  2. A parábola entre e .
  3. A curva racional para .
Vamos conectar esses segmentos, garantindo que os pontos de transição (como e ) estejam corretos e que as funções se comportem conforme esperado nas suas respectivas áreas.

Resposta

Prontinho! Com esses passos, você consegue esboçar o gráfico completo da função , combinando uma reta, uma parábola e uma curva racional de forma contínua. Dá uma olhada no desenho para visualizar como cada parte se encaixa. Boa sorte!

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Determine:
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