Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Determine a que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir: 1 centímetro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um balão esférico sendo inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Queremos descobrir a que velocidade o raio do balão está aumentando quando o raio mede 1 centímetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas e como as grandezas mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Sabemos que o volume de uma esfera é dado pela fórmula:
onde é o raio da esfera. Essa fórmula nos ajuda a relacionar o volume com o raio.

Passo 3

Como queremos saber como o raio muda com o tempo, precisamos relacionar as taxas de variação do volume e do raio. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :
Aplicando a derivada, temos:
Aqui, é a taxa de variação do volume e é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.

Passo 4

Sabemos que cm³/min e queremos encontrar quando cm. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, isolamos para encontrar a taxa de crescimento do raio:

Resposta

A taxa de crescimento do raio do balão quando ele tem 1 centímetro de raio é centímetros por minuto.

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Seja a função
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