Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Determine a que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir: 1 centímetro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um balão esférico sendo inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Queremos descobrir a que velocidade o raio do balão está aumentando quando o raio mede 1 centímetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas e como as grandezas mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Sabemos que o volume de uma esfera é dado pela fórmula:
onde é o raio da esfera. Essa fórmula nos ajuda a relacionar o volume com o raio.
Passo 3
Como queremos saber como o raio muda com o tempo, precisamos relacionar as taxas de variação do volume e do raio. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :
Aplicando a derivada, temos:
Aqui, é a taxa de variação do volume e é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.
Passo 4
Sabemos que cm³/min e queremos encontrar quando cm. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, isolamos para encontrar a taxa de crescimento do raio:
Resposta
A taxa de crescimento do raio do balão quando ele tem 1 centímetro de raio é centímetros por minuto.