Um avião com 2 times 10^5 Kg de massa voando a 123 m / s, se inclina para fazer uma curva circular horizontal. O raio de curvatura é de 3810 m . Determine (a) a força de sustentação necessária e (b) o ângulo de inclinação do avião.
(R.: (a) 2,12 times 10^6 N; (b) 19,4^circ )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um avião com massa de voando a uma velocidade de . Ele está fazendo uma curva circular horizontal com raio de curvatura de . Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
a) A força de sustentação necessária para manter o avião nessa trajetória.
b) O ângulo de inclinação que o avião precisa ter para realizar essa curva.
Vamos usar conceitos de dinâmica de movimentos circulares e as leis da física que envolvem forças em ação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando o avião faz uma curva, ele está mudando de direção, o que implica uma aceleração centrípeta. Essa aceleração é responsável por manter o avião na trajetória curva.
A força centrípeta necessária para essa mudança de direção é dada por:
Fc = m v^2r
Onde:
  • é a massa do avião,
  • é a velocidade,
  • é o raio da curva.

Passo 3

Vamos calcular a força centrípeta necessária:
Fc = 2 times 10^5 , kg times (123 , m/s)^23810 , m
Primeiro, calculemos o numerador:
2 times 10^5 times 123^2 = 2 times 10^5 times 15129 = 3,0258 times 10^9 , kg cdot m^2/s^2
Agora, dividimos pelo raio:
Fc = 3,0258 times 10^93810 approx 7,93 times 10^5 , N

Passo 4

A força de sustentação L cos(theta) = mg do avião não só precisa equilibrar o peso do avião L sin(theta) = Fc mas também fornecer a força centrípeta tan(theta) = Fcmg . Portanto, temos um triângulo de forças onde:
Podemos dividir as duas equações para eliminar :

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar L = mgcos(theta) . Sabemos que:
L = raiz(mg)^2 + (Fc)^2
Mas como não conhecemos ainda, podemos primeiro resolver a relação da tangente para encontrar , e então calcular .
No entanto, temos duas incógnitas, então vamos usar uma abordagem diferente. Sabemos que a força total de sustentação deve ser a resultante das componentes que equilibram o peso e fornecem a força centrípeta. Portanto, usando o teorema de Pitágoras:

Passo 6

Vamos calcular mg = 2 times 10^5 , kg times 9,81 , m/s^2 = 1,962 times 10^6 , N :
L = raiz(1,962 times 10^6)^2 + (7,93 times 10^5)^2
Agora, já temos L = raiz3,849 times 10^12 + 6,29 times 10^11 = raiz4,4789 times 10^12 approx 2,12 times 10^6 , N .
Então,
Calculando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o ângulo de inclinação tan(theta) = Fcmg = 7,93 times 10^51,962 times 10^6 approx 0,404 :
theta = arctan(0,404) approx 19,4^circ
Então,

Resposta

(a) A força de sustentação necessária é aproximadamente .
(b) O ângulo de inclinação do avião é de cerca de .

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