Um carro percorre a linha com movimento uniformemente acelerado. Nos instantes e , suas posições são e , respectivamente. Mostrar que a aceleração do carro é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que está se movendo na linha OX com aceleração constante. Nos momentos e , as posições do carro são e , respectivamente. A nossa missão é mostrar que a aceleração do carro é dada por
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado e fazer umas contas passo a passo. Vamos precisar entender como a posição do carro varia com o tempo quando há uma aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação que descreve a posição de um objeto em movimento uniformemente acelerado:
Onde:
  • é a posição no tempo ,
  • é a posição inicial,
  • é a velocidade inicial,
  • é a aceleração.
Como estamos apenas olhando para as posições em e , e sem perda de generalidade, podemos considerar que (ou seja, começamos a medir a partir da posição inicial do carro). Então, as equações ficam:

Passo 3

Temos agora duas equações com duas incógnitas: e . Nosso objetivo é isolar . Para isso, vamos resolver essas equações.
Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :

Passo 4

Simplificando, podemos fatorar:
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora, vamos substituir essa expressão de de volta na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Distribuindo :
Simplificando os termos com :
Perceba que cancela, então:

Passo 7

Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

Passo 9

Distribuindo :
Simplificando os termos:

Passo 10

Finalmente, isolamos :

Resposta

A aceleração do carro é dada por

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