Um carro percorre a linha O X com movimento uniformemente acelerado. Nos instantes t1 e t2, suas posições são x1 e x2, respectivamente. Mostrar que a aceleração do carro é dada por
a=2(x2 t1-x1 t2)t1 t2(t2-t1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que está se movendo na linha OX com aceleração constante. Nos momentos a = 2(x2 t1 - x1 t2)t1 t2(t2-t1) e , as posições do carro são e , respectivamente. A nossa missão é mostrar que a aceleração do carro é dada por
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado e fazer umas contas passo a passo. Vamos precisar entender como a posição do carro varia com o tempo quando há uma aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação que descreve a posição de um objeto em movimento uniformemente acelerado:
x = x0 + v0 t + 12 a t^2
Onde:
  • x1 = v0 t1 + 12 a t1^2 é a posição no tempo x2 = v0 t2 + 12 a t2^2 ,
  • é a posição inicial,
  • é a velocidade inicial,
  • é a aceleração.
Como estamos apenas olhando para as posições em e , e sem perda de generalidade, podemos considerar que (ou seja, começamos a medir a partir da posição inicial do carro). Então, as equações ficam:

Passo 3

Temos agora duas equações com duas incógnitas: x2 - x1 = v0 (t2 - t1) + 12 a (t2^2 - t1^2) e . Nosso objetivo é isolar . Para isso, vamos resolver essas equações.
Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :

Passo 4

Simplificando, podemos fatorar:
x2 - x1 = v0 (t2 - t1) + 12 a (t2 - t1)(t2 + t1)
Agora, isolamos v0 = (x2 - x1)(t2 - t1) - 12 a (t2 + t1) :

Passo 5

Agora, vamos substituir essa expressão de x1 = ( (x2 - x1)(t2 - t1) - 12 a (t2 + t1) ) t1 + 12 a t1^2 de volta na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Distribuindo x1 = (x2 - x1) t1(t2 - t1) - 12 a t1 (t2 + t1) + 12 a t1^2 :
x1 = (x2 - x1) t1(t2 - t1) - 12 a t1 t2 - 12 a t1^2 + 12 a t1^2
Simplificando os termos com x1 = (x2 - x1) t1(t2 - t1) - 12 a t1 t2 :
Perceba que cancela, então:

Passo 7

Vamos isolar 12 a t1 t2 = (x2 - x1) t1(t2 - t1) - x1 :
a t1 t2 = 2 ( (x2 - x1) t1(t2 - t1) - x1 )
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
a t1 t2 = 2 (x2 - x1) t1(t2 - t1) - 2 x1
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
a t1 t2 = 2 (x2 - x1) t1 - 2 x1 (t2 - t1)(t2 - t1)

Passo 9

Distribuindo a t1 t2 = 2 x2 t1 - 2 x1 t1 - 2 x1 t2 + 2 x1 t1(t2 - t1) :
a t1 t2 = 2 x2 t1 - 2 x1 t2(t2 - t1)
Simplificando os termos:

Passo 10

Finalmente, isolamos a = 2 (x2 t1 - x1 t2)t1 t2 (t2 - t1) :

Resposta

A aceleração do carro é dada por
a = 2(x2 t1 - x1 t2)t1 t2(t2-t1)

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