Um avião usado para combater incêndios abastece seu compartimento de água ao planar sobre um lago e retirar água através de um tubo de Pitot. Seja V o volume do tanque, d o diâmetro do tubo, v a velocidade do avião (em relação ao lago) e h sua altitude (em relação à superfície do lago), calcule o tempo necessário para se encher o reservatório. Considere o fluido ideal, em escoamento estacionário, e que a água é captada rente à superfície. Considere também que o compartimento de água é aberto para a atmosfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo um avião que combate incêndios. Ele precisa encher o tanque de água enquanto planar sobre um lago, retirando a água através de um tubo de Pitot. Os dados que temos são:
  • $ V $: volume do tanque
  • $ d $: diâmetro do tubo
  • $ v $: velocidade do avião em relação ao lago
  • $ h $: altitude do avião em relação à superfície do lago
O objetivo é calcular o tempo necessário para encher o reservatório de água. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de fluídica, especialmente sobre escoamento de fluidos ideais em regime estacionário. Vamos considerar também a área da seção do tubo e a velocidade de fluxo da água.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quanto de água está entrando no tanque por unidade de tempo, ou seja, a taxa de fluxo ($ Q $). A taxa de fluxo é dada pela fórmula:
Q
onde:
  • $ A $ é a área da seção transversal do tubo
  • $ v $ é a velocidade da água entrando no tubo

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal do tubo de Pitot. Como o tubo é circular, a área $ A $ é:
A
onde $ d $ é o diâmetro do tubo.

Passo 4

Agora, precisamos determinar a velocidade da água ($ v $) que está sendo puxada pelo avião. Como o tubo de Pitot está captando água rente à superfície e o avião está a uma velocidade $ v $, podemos relacionar essa velocidade com a velocidade da água usando princípios de escoamento relativo. Para um fluido ideal em escoamento estacionário, a velocidade da água será semelhante à velocidade do avião.
Portanto, podemos considerar:
v á

Passo 5

Com a área $ A $ e a velocidade $ v $ conhecidas, podemos calcular a taxa de fluxo $ Q $:
A

Passo 6

Agora que temos a taxa de fluxo $ Q $, podemos encontrar o tempo necessário para encher o reservatório de volume $ V $. A relação entre o volume, a taxa de fluxo e o tempo é:
Q
Substituindo $ Q $ na equação:
V

Resposta

O tempo necessário para encher o reservatório é dado por:
t = 4Vpi d^2 v

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