Um tubo retilíneo é usado para medir a aceleração da gravidade em um planeta desconhecido da seguinte forma. Coloca-se o tubo na vertical, com uma das aberturas (entrada) rente à superfície líquida, de densidade
, de um lago. Na outra abertura (saída), a qual está fora do líquido, é realizada uma suç̧ão. Medese as pressões e as velocidades de escoamento na entrada e na saída do tubo. Na entrada (mas imediatamente fora do tubo) a pressão é 100.000 Pa e a velocidade é
. Na saída a pressão é 50.000 Pa e a velocidade é
. O comprimento do tubo é 1 m . Considere o líquido ideal, o escoamento uniforme ao longo de qualquer seção reta do tubo e estacionário ao longo do tubo e despreze qualquer efeito de capilaridade. Qual a aceleração da gravidade no planeta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo vertical usado para medir a aceleração da gravidade em um planeta desconhecido. A gente tem dados sobre pressões e velocidades na entrada e na saída do tubo, além da densidade do líquido e o comprimento do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluido em escoamento estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Bernoulli para um fluido incompressível e ideal em escoamento estacionário:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a velocidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Passo 3
Vamos identificar os pontos 1 e 2:
-
Entrada (Ponto 1):
- Pressão
- Velocidade
- Altura
(nível do líquido)
- Pressão
-
Saída (Ponto 2):
- Pressão
- Velocidade
- Altura
(1 metro abaixo devido ao tubo vertical)
- Pressão
A densidade do líquido é
.
Passo 4
Substituindo os valores na equação de Bernoulli:
Simplificando os termos:
Calculando os termos com velocidade:
Passo 5
Agora, somando os valores:
Isolando
:
O sinal negativo indica que a direção da aceleração é oposta à convenção adotada, mas como queremos a magnitude, consideramos o valor positivo.
Resposta
A aceleração da gravidade no planeta é de 62 m/s².