Um tubo retilíneo é usado para medir a aceleração da gravidade em um planeta desconhecido da seguinte forma. Coloca-se o tubo na vertical, com uma das aberturas (entrada) rente à superfície líquida, de densidade 1.000 kg / m^3, de um lago. Na outra abertura (saída), a qual está fora do líquido, é realizada uma suç̧ão. Medese as pressões e as velocidades de escoamento na entrada e na saída do tubo. Na entrada (mas imediatamente fora do tubo) a pressão é 100.000 Pa e a velocidade é 7 m / s. Na saída a pressão é 50.000 Pa e a velocidade é 5 m / s. O comprimento do tubo é 1 m . Considere o líquido ideal, o escoamento uniforme ao longo de qualquer seção reta do tubo e estacionário ao longo do tubo e despreze qualquer efeito de capilaridade. Qual a aceleração da gravidade no planeta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo vertical usado para medir a aceleração da gravidade em um planeta desconhecido. A gente tem dados sobre pressões e velocidades na entrada e na saída do tubo, além da densidade do líquido e o comprimento do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluido em escoamento estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Bernoulli para um fluido incompressível e ideal em escoamento estacionário:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • P é a pressão,
  • rho é a densidade do fluido,
  • v é a velocidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura.

Passo 3

Vamos identificar os pontos 1 e 2:
  • Entrada (Ponto 1):
    • Pressão P1 = 100.000 , Pa
    • Velocidade v1 = 7 , m/s
    • Altura h1 = 0 , m (nível do líquido)
  • Saída (Ponto 2):
    • Pressão P2 = 50.000 , Pa
    • Velocidade v2 = 5 , m/s
    • Altura h2 = -1 , m (1 metro abaixo devido ao tubo vertical)
A densidade do líquido é rho = 1.000 , kg/m^3.

Passo 4

Substituindo os valores na equação de Bernoulli:
100.000 + 12 times 1000 times 7^2 + 1000 times g times 0 = 50.000 + 12 times 1000 times 5^2 + 1000 times g times (-1)
Simplificando os termos:
100.000 + 12 times 1000 times 49 + 0 = 50.000 + 12 times 1000 times 25 - 1000g
Calculando os termos com velocidade:
100.000 + 24.500 = 50.000 + 12.500 - 1000g

Passo 5

Agora, somando os valores:
124.500 = 62.500 - 1000g
Isolando g:
124.500 - 62.500 = -1000g 62.000 = -1000g g = -62.0001000 g = -62 , m/s^2
O sinal negativo indica que a direção da aceleração é oposta à convenção adotada, mas como queremos a magnitude, consideramos o valor positivo.

Resposta

A aceleração da gravidade no planeta é de 62 m/s².

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