Um avião está a uma velocidade constante de
e subindo a um ângulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de
, passa diretamente sobre um torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre). RESPOSTA:569,65 Km/h
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um avião que está voando a uma velocidade constante de
e subindo num ângulo de
. No instante em que ele está a
de altura, ele passa exatamente sobre uma torre de controle no chão. A gente precisa descobrir qual é a taxa de variação da distância entre o avião e a torre um minuto depois. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especialmente as taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do avião. Como ele está subindo a
, isso significa que as componentes horizontal e vertical da sua velocidade são iguais. Podemos separar a velocidade total do avião nas direções horizontal (
) e vertical (
) usando funções trigonométricas.
Como o ângulo é
:
Sabemos que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos definir as variáveis de posição em relação ao tempo
. No instante inicial (
), o avião está exatamente sobre a torre, então a distância horizontal é zero, e a altura é
.
A posição horizontal
e a altura
após um tempo
são dadas por:
Passo 4
Queremos encontrar a distância
entre o avião e a torre em função do tempo. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar
,
e
:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 5
Queremos encontrar a taxa de variação da distância
no momento
. Primeiro, vamos converter um minuto para horas, já que as velocidades estão em km/h:
Agora, vamos derivar a expressão de
em relação ao tempo:
Onde
e
.
Passo 6
Vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, calculamos
e
no tempo
:
Agora, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Resposta
A taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde é aproximadamente
.