Um avião está a uma velocidade constante de
e subindo a um ângulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de
, passa diretamente sobre um torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre). RESPOSTA:569,65 Km/h
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um avião que está voando a uma velocidade constante de
e subindo num ângulo de
. No instante em que ele está a
de altura, ele passa exatamente sobre uma torre de controle no chão. A gente precisa descobrir qual é a taxa de variação da distância entre o avião e a torre um minuto depois. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especialmente as taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do avião. Como ele está subindo a
, isso significa que as componentes horizontal e vertical da sua velocidade são iguais. Podemos separar a velocidade total do avião nas direções horizontal (
) e vertical (
) usando funções trigonométricas.
Como o ângulo é
:
Sabemos que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos definir as variáveis de posição em relação ao tempo
. No instante inicial (
), o avião está exatamente sobre a torre, então a distância horizontal é zero, e a altura é
.
A posição horizontal
e a altura
após um tempo
são dadas por:
Passo 4
Queremos encontrar a distância
entre o avião e a torre em função do tempo. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar
,
e
:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 5
Queremos encontrar a taxa de variação da distância
no momento
. Primeiro, vamos converter um minuto para horas, já que as velocidades estão em km/h:
Agora, vamos derivar a expressão de
em relação ao tempo:
Onde
e
.
Passo 6
Vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, calculamos
e
no tempo
:
Agora, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Resposta
A taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de
. O carretel que libera a corda está a
da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150 m de corda? RESPOSTA:
Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a
do solo. A corda é liberada à razão de
na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de
. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38 m de corda. RESPOSTA:
Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de
se afasta do poste em linha reta à razão de
. A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? RESPOSTA:a)
b)
Da beira de um rochedo 60 m acima de um lago um menino deixa cair um pedra e, depois de
deixa cair outra pedra da mesma posição. Discuta a taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo (Admita que a distância percorrida em
segundos por um objeto em queda livre é
). RESPOSTA:19,6 m/s