Um avião está a uma velocidade constante de 580 Km/h e subindo a um ângulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de 3,2 km, passa diretamente sobre um torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre). RESPOSTA:569,65 Km/h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um avião que está voando a uma velocidade constante de e subindo num ângulo de . No instante em que ele está a de altura, ele passa exatamente sobre uma torre de controle no chão. A gente precisa descobrir qual é a taxa de variação da distância entre o avião e a torre um minuto depois. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especialmente as taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do avião. Como ele está subindo a , isso significa que as componentes horizontal e vertical da sua velocidade são iguais. Podemos separar a velocidade total do avião nas direções horizontal ( ) e vertical ( ) usando funções trigonométricas.
Como o ângulo é :
Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos definir as variáveis de posição em relação ao tempo . No instante inicial ( ), o avião está exatamente sobre a torre, então a distância horizontal é zero, e a altura é .
A posição horizontal e a altura após um tempo são dadas por:

Passo 4

Queremos encontrar a distância entre o avião e a torre em função do tempo. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar , e :
Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Queremos encontrar a taxa de variação da distância no momento . Primeiro, vamos converter um minuto para horas, já que as velocidades estão em km/h:
Agora, vamos derivar a expressão de em relação ao tempo:
Onde e .

Passo 6

Vamos calcular os valores numéricos. Primeiro, calculamos e no tempo :
Agora, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Resposta

A taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde é aproximadamente .

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