Da beira de um rochedo 60 m acima de um lago um menino deixa cair um pedra e, depois de 2 s deixa cair outra pedra da mesma posição. Discuta a taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo (Admita que a distância percorrida em t segundos por um objeto em queda livre é 4,9 t^2 m ). RESPOSTA:19,6 m/s

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão primeiro! Temos um rochedo a 60 metros de altura sobre um lago. Um menino solta uma pedra da beira do rochedo, e depois de 2 segundos, ele solta outra pedra do mesmo lugar. A pergunta é: qual é a taxa na qual a distância entre as duas pedras está mudando durante o próximo segundo?
Conteúdo da matéria: Movimento uniformemente acelerado (queda livre) e cálculo da taxa de variação (derivadas).
O que vamos precisar para resolver:
  • A fórmula da distância percorrida em queda livre: metros.
  • Entender como calcular a taxa de variação da distância entre duas pedras em movimento.

Passo 2

Vamos chamar a primeira pedra de Pedra A e a segunda de Pedra B.
  • Pedra A é solta no tempo segundos.
  • Pedra B é solta no tempo segundos.
Queremos saber como a distância entre elas está mudando durante o próximo segundo, ou seja, entre e segundos.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a posição de cada pedra no tempo considerado.
A distância percorrida por uma pedra em queda livre após segundos é dada por:
Então:
  • Pedra A: Foi solta no .
    • No tempo , sua posição é:
  • Pedra B: Foi solta no .
    • O tempo de queda dela a partir do momento que foi solta é (porque ela foi solta 2 segundos depois).
    • Então, sua posição no tempo é:

Passo 4

Queremos encontrar a distância entre as duas pedras no tempo , que é:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Agora, queremos saber a taxa de variação dessa distância, ou seja, a derivada de em relação ao tempo :
Isso significa que a distância entre as duas pedras está aumentando a uma taxa constante de 19,6 metros por segundo durante o próximo segundo.

Resposta

A taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo é de 19,6 m/s.

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