Da beira de um rochedo 60 m acima de um lago um menino deixa cair um pedra e, depois de
deixa cair outra pedra da mesma posição. Discuta a taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo (Admita que a distância percorrida em
segundos por um objeto em queda livre é
). RESPOSTA:19,6 m/s
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão primeiro! Temos um rochedo a 60 metros de altura sobre um lago. Um menino solta uma pedra da beira do rochedo, e depois de 2 segundos, ele solta outra pedra do mesmo lugar. A pergunta é: qual é a taxa na qual a distância entre as duas pedras está mudando durante o próximo segundo?
Conteúdo da matéria: Movimento uniformemente acelerado (queda livre) e cálculo da taxa de variação (derivadas).
O que vamos precisar para resolver:
- A fórmula da distância percorrida em queda livre:
metros. - Entender como calcular a taxa de variação da distância entre duas pedras em movimento.
Passo 2
Vamos chamar a primeira pedra de Pedra A e a segunda de Pedra B.
- Pedra A é solta no tempo
segundos. - Pedra B é solta no tempo
segundos.
Queremos saber como a distância entre elas está mudando durante o próximo segundo, ou seja, entre
e
segundos.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a posição de cada pedra no tempo considerado.
A distância percorrida por uma pedra em queda livre após
segundos é dada por:
Então:
-
Pedra A: Foi solta no
. - No tempo
, sua posição é:
- No tempo
-
Pedra B: Foi solta no
. - O tempo de queda dela a partir do momento que foi solta é
(porque ela foi solta 2 segundos depois). - Então, sua posição no tempo
é:
- O tempo de queda dela a partir do momento que foi solta é
Passo 4
Queremos encontrar a distância entre as duas pedras no tempo
, que é:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, queremos saber a taxa de variação dessa distância, ou seja, a derivada de
em relação ao tempo
:
Isso significa que a distância entre as duas pedras está aumentando a uma taxa constante de 19,6 metros por segundo durante o próximo segundo.
Resposta
A taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo é de 19,6 m/s.