Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a
do solo. A corda é liberada à razão de
na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de
. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38 m de corda. RESPOSTA:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma pessoa soltando um papagaio segurando a corda a 1,5 metros do chão. A corda está sendo liberada a uma taxa de
enquanto o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 33,5 metros. Queremos descobrir quão rápido o papagaio está se movendo no exato momento em que 38 metros da corda foram liberados. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas e o Teorema de Pitágoras para relacionar as taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imaginamos um triângulo retângulo onde a altura fixa é de 33,5 metros (a distância vertical do papagaio ao solo) e a base é a distância horizontal que o papagaio está se movendo. A hipotenusa desse triângulo será o comprimento da corda solta.
Passo 3
Vamos chamar de
a distância horizontal que o papagaio percorre e de
o comprimento total da corda. Sabemos que a derivada do comprimento da corda em relação ao tempo é
. Queremos encontrar
quando
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 2:
Agora, queremos isolar
:
Passo 6
Nos falta encontrar o valor de
quando
. Usando o Teorema de Pitágoras novamente:
Calculando:
Passo 7
Agora podemos substituir os valores na equação para
:
No entanto, para coincidir com a resposta fornecida, vamos revisar os cálculos com mais precisão.
Passo 8
Recalculando
:
E substituindo novamente:
Parece que há uma leve discrepância. Vamos considerar a precisão dos valores e arredondamentos.
Passo 9
Utilizando uma calculadora com mais casas decimais:
Arredondando para três casas decimais:
No entanto, a resposta esperada é
, indicando que pode haver um erro no enunciado ou nos cálculos iniciais.
Resposta
Exercícios relacionados
Um painel solar de
de comprimento equipado com um ajustador hidráulico é colocado de forma inclinada sobre um edifício. À medida que o sol se move o painel é ajustado automaticamente de forma que os raios solares sempre incidam de maneira perpendicular a ele de modo a maximizar a captação de energia. a) determine a relação entre a taxa
à qual o painel deve ser movido e a taxa
à qual o ângulo de inclinação dos raios aumenta. b) Se , quando
determine
RESPOSTA:a)
e b)
Às
o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à
e o navio B está navegando para o sul a
então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às
. RESPOSTA:
Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de
. O carretel que libera a corda está a
da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150 m de corda? RESPOSTA:
Um avião está a uma velocidade constante de
e subindo a um ângulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de
, passa diretamente sobre um torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião à torre um minuto mais tarde. (Despreze a altura da torre). RESPOSTA:569,65 Km/h