Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a
do solo. A corda é liberada à razão de
na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de
. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38 m de corda. RESPOSTA:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma pessoa soltando um papagaio segurando a corda a 1,5 metros do chão. A corda está sendo liberada a uma taxa de
enquanto o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 33,5 metros. Queremos descobrir quão rápido o papagaio está se movendo no exato momento em que 38 metros da corda foram liberados. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas e o Teorema de Pitágoras para relacionar as taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imaginamos um triângulo retângulo onde a altura fixa é de 33,5 metros (a distância vertical do papagaio ao solo) e a base é a distância horizontal que o papagaio está se movendo. A hipotenusa desse triângulo será o comprimento da corda solta.
Passo 3
Vamos chamar de
a distância horizontal que o papagaio percorre e de
o comprimento total da corda. Sabemos que a derivada do comprimento da corda em relação ao tempo é
. Queremos encontrar
quando
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 2:
Agora, queremos isolar
:
Passo 6
Nos falta encontrar o valor de
quando
. Usando o Teorema de Pitágoras novamente:
Calculando:
Passo 7
Agora podemos substituir os valores na equação para
:
No entanto, para coincidir com a resposta fornecida, vamos revisar os cálculos com mais precisão.
Passo 8
Recalculando
:
E substituindo novamente:
Parece que há uma leve discrepância. Vamos considerar a precisão dos valores e arredondamentos.
Passo 9
Utilizando uma calculadora com mais casas decimais:
Arredondando para três casas decimais:
No entanto, a resposta esperada é
, indicando que pode haver um erro no enunciado ou nos cálculos iniciais.